서신동 고등수학과외
서신동 고등수학과외에서 삼각형 넓이 공식을 다룰 때 학생들이 자주 놓치는 부분은 계산 자체보다 ‘어떤 각을 넣었는가’를 확인하는 과정이다. 전주한일고등학교 학생과 주기 함수가 연결된 문제를 풀던 날에도, 공식은 알고 있었지만 끼인각 조건을 식에 반영하는 순간 풀이가 멈췄다. 서신중흥아파트와 떡정거리 생활권에서 이동해 온 학생은 처음에 주기 6π라는 표현을 낯설어했지만, 삼각형의 두 변과 그 사이 각을 정확히 짚는 연습부터 다시 시작했다.
주기 6π가 붙은 삼각형 넓이 문제
두 변의 길이가 각각 4, 6이고 그 사이의 각을 C라고 하면 삼각형의 넓이는
넓이 = 1/2 × 4 × 6 × sin C = 12 sin C
로 나타난다. 여기서 각 C는 두 변이 만나는 끼인각이어야 한다. 문제에서 매개변수 t에 따라 끼인각이 C=t/3으로 주어지고, t의 주기가 6π라고 했다면 넓이는 S(t)=12 sin(t/3)으로 표현된다. t/3의 변화량이 2π가 될 때 원래 값으로 돌아오므로 t의 주기가 6π가 되는 것도 확인할 수 있다.
첫 오류는 첫 식을 쓰는 순간 나타났다
학생은 문제를 읽고 “주기가 6π니까 sin 6π=0”이라고 적은 뒤 넓이를 0으로 처리했다. 이때 6π는 삼각함수에 대입할 각이 아니라 매개변수의 반복 간격이었다. 더 앞선 풀이에서는 두 변 4와 6을 찾았지만, 그 사이에 놓인 각을 표시하지 않은 채 1/2×4×6×sin(6π)를 적었다. 공식의 모양은 맞아 보여도 끼인각 확인이 빠진 첫 번째 잘못이었다.
여백에는 먼저 ‘넓이 공식에는 두 변과 그 사이 각’이라고 쓰게 했다. 이어 t가 아니라 실제 각이 t/3이라는 조건을 표시하고, 주기 6π를 대입해 각이 (t+6π)/3=t/3+2π로 변한다는 것을 계산했다. 따라서 sin((t+6π)/3)=sin(t/3)이고 넓이도 그대로 반복된다. 주기와 끼인각을 서로 다른 정보로 분리한 뒤 다시 식을 세우자, t=3π일 때 각은 π가 되어 넓이가 0이라는 결과도 자연스럽게 설명할 수 있었다. 두 변이 존재해도 끼인각이 180°이면 삼각형이 일직선으로 펴지기 때문이다.
조건을 바꾼 문제에서 혼자 식 세우기
다음에는 변의 길이를 5와 8로 바꾸고, 끼인각을 C=(t+π)/3으로 제시했다. 주기는 여전히 6π이지만 시작점이 달라진 상황이다. 학생은 먼저
S(t)=1/2×5×8×sin((t+π)/3)=20sin((t+π)/3)
이라고 적었다. 이어 t=2π를 넣어 각이 π가 되고 넓이가 0임을 계산했다. 처음처럼 주기 6π를 곧바로 사인 함수 안에 넣지 않고, 각의 식을 먼저 확인한 점이 달라졌다. t=π라면 각은 2π/3이므로 넓이는 20sin(2π/3)=10√3이다. 조건과 수치를 바꾼 뒤에도 같은 원리를 혼자 재현했다.
두 공식으로 결과를 대조한 마무리
마지막에는 t=π인 삼각형을 그림으로 옮겼다. 두 변 5, 8과 끼인각 120°를 표시한 뒤 사인 공식으로 10√3을 얻었다. 이어 한 변을 밑변으로 보고 높이를 8sin120°로 계산하면
1/2×5×(8sin120°)=10√3
이 되어 같은 값이 나왔다. 밑변과 높이로 구한 넓이, 두 변과 끼인각으로 구한 넓이가 일치하는지 비교하면서 공식의 적용 조건까지 검증했다. 주기 6π라는 정보도 t를 6π만큼 바꿨을 때 넓이 식이 다시 원래 값으로 돌아오는지 대입해 확인했다.
자주 묻는 내용
주기 6π를 사인 함수의 각으로 바로 넣어도 되나요?
안 된다. 주기는 입력값이 반복되는 간격이며, 실제 끼인각의 식과 구분해야 한다.
두 변만 알면 삼각형 넓이를 구할 수 있나요?
두 변 사이의 끼인각이나 별도의 밑변·높이 정보가 추가로 필요하다.
끼인각이 π이면 왜 넓이가 0인가요?
두 변이 한 직선 위에 놓여 삼각형이 납작해지므로 높이가 0이 된다.
주기와 삼각형의 각도는 어떻게 연결하나요?
매개변수에 주기만큼을 더한 뒤 실제 각의 변화량을 계산하고, 사인값이 유지되는지 확인한다.