서신동 중1수학과외

서신동 생활권에서 이어진 거리와 시간 방정식 풀이

서신동과외 수업에서 학생은 칠판의 풀이 일부가 가려진 상태로 다음 문제를 받았다.

집에서 도서관까지 갈 때 시속 4km로 걸으면 시속 6km로 걸을 때보다 10분 더 걸린다. 두 경우의 거리가 같다면, 도서관까지의 거리는 얼마인가?

학생은 곧바로 4x=6x+10이라고 적었다. 이어서 양변에서 4x를 빼고 10을 나누려 했지만, 시간의 단위를 분으로 쓸지 시간으로 쓸지 표시하지 않았다. 계산을 시작한 행동 자체보다 먼저 살펴볼 부분은 x가 무엇을 뜻하는지와 문제에서 실제로 같은 것이 무엇인지 정하는 일이었다.

첫 식이 어긋난 지점부터 되짚기

풀이를 거꾸로 확인하자 최초의 판단은 ‘속도에 시간을 곱하면 두 이동거리가 같아진다’고 생각한 것이었다. 그러나 학생은 x를 거리로 정해 놓고도 속도만 곱했으며, 10분을 거리처럼 오른쪽에 붙였다. 교사는 기존 계산을 모두 지우게 하지 않고, 첫 줄 옆에 다음 두 문장을 적게 했다.

• x는 도서관까지의 거리이다.
• 10분은 거리의 차이가 아니라 시간의 차이이므로 시간 단위로 바꾼다.

거리와 속도의 관계를 이용하려면 시간부터 정해야 했다. 시속 4km로 걸을 때의 시간은 x/4시간, 시속 6km일 때의 시간은 x/6시간이다. 10분은 1/6시간이므로 ‘느린 경우의 시간 = 빠른 경우의 시간 + 1/6’으로 식을 세웠다.

x/4 = x/6 + 1/6
x/4 - x/6 = 1/6
x/12 = 1/6
x = 2

학생은 여기서 답만 적지 않고, 2km를 원래 조건에 다시 넣었다. 시속 4km로 가면 1/2시간, 시속 6km로 가면 1/3시간이므로 차이는 1/6시간, 즉 10분이었다. 처음 잘못 붙였던 10이라는 수를 식의 오른쪽에 그대로 쓰지 않고, 단위를 바꾸어 시간의 차이로 표현한 것이 교정의 핵심이었다.

문제의 모양이 달라졌을 때

다음 문제는 문장 대신 이동 기록표로 제시했다. 표에는 같은 거리를 두 사람이 이동한 기록이 적혀 있었다.

• 자전거: 시속 12km, 걸린 시간은 t시간
• 도보: 시속 4km, 자전거보다 20분 더 걸림

질문도 ‘거리는 얼마인가?’가 아니라 ‘도보로 걸린 시간은 얼마인가?’로 바뀌었다. 학생은 먼저 t를 자전거 시간으로 정하고, 도보 시간은 t+1/3시간이라고 설명했다. 같은 거리를 이동했으므로 두 식을 각각 거리로 나타내어

12t = 4(t+1/3)

이라고 썼다. 양변을 정리해 12t=4t+4, 8t=4, t=1/2를 얻은 뒤, 도보 시간은 1/2+1/3=5/6시간이라고 이어서 계산했다. 이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 구해야 할 대상과 등식을 세우는 방향이 달라졌지만 학생은 먼저 미지수의 의미와 두 이동에서 같은 조건을 구분했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 끝 무렵에는 칠판의 식과 표시를 가리고 새로운 상황을 제시했다.

어떤 거리를 시속 5km로 이동하면 시속 8km로 이동할 때보다 18분 더 걸린다. 빠른 속도로 이동한 시간은 얼마인가?

학생은 도움을 기다리지 않고 빠른 이동 시간을 x시간으로 정했다. 느린 이동 시간은 x+3/10시간이라고 적었고, 같은 거리를 이동하므로

8x = 5(x+3/10)
8x = 5x+3/2
3x = 3/2
x = 1/2

라고 풀었다. 이어 빠른 이동 거리는 8×1/2=4km, 느린 이동 시간은 1/2+3/10=4/5시간이므로 느린 이동 거리도 5×4/5=4km라고 검산했다. 학생은 “속도와 시간을 곱한 두 값이 같아야 하고, 18분은 3/10시간으로 바꿔야 한다”고 풀이 이유까지 스스로 설명했다. 서신동중1수학과외에서 확인한 최종 장면은 정답보다, 상황이 문장·표·질문 변경으로 바뀌어도 미지수와 등식의 근거를 다시 세우는 과정이었다.