서신동 고3수학과외

중복순열에서 먼저 세운 것은 식이 아니라 중단 기준이었다

서신동 생활권에서 수능 수학을 준비하던 학생은 중복순열 문항을 풀 때 숫자가 커지면 계산부터 붙잡는 습관이 있었다. 전주한일고등학교 인근 학습환경에서 진행한 기출 점검에서도 같은 장면이 나타났다. 문제는 다음과 같았다.

문자 A, A, B, C를 한 줄로 배열할 때 B와 C가 서로 이웃하지 않는 배열의 수를 구하여라.

학생은 첫 30초 동안 조건을 읽고도 곧바로 4!을 적었다. A가 두 번 반복된다는 사실을 뒤늦게 반영해 4!/2!까지 계산했지만, B와 C의 이웃 조건을 처리하는 순간 여러 경우를 직접 나누기 시작했다. 한 배열을 붙들고 “A를 어디에 둘까”를 계속 따지면서 뒤 문항으로 이동하지 못한 것이 최초의 문제였다. 경우의 수 자체를 모르는 것보다, 구조가 보이지 않을 때도 계산을 이어 간 판단이 더 큰 손실을 만들었다.

30초 안에 구조와 확보 가능 점수를 함께 판단하기

풀이를 멈춘 뒤 학생은 문제 옆에 두 줄을 적었다. 첫 줄에는 전체 배열 수, 둘째 줄에는 제외할 배열이라고 썼다. 중복된 A는 같은 문자이므로 전체는

4!/2! = 12

이다. B와 C가 이웃하는 경우에는 BC 또는 CB를 하나의 묶음으로 본다. 묶음 하나와 A, A를 배열하는 수가 3!/2!이고 묶음의 내부 순서가 2가지이므로 제외할 수는

(3!/2!)×2 = 6

이다. 따라서 조건을 만족하는 수는 12-6=6이다. 학생은 이처럼 전체에서 조건을 어기는 경우를 빼는 구조가 30초 안에 보이지 않으면 표시만 남기고 다음 문항으로 이동하기로 했다. 단순히 “어려우면 넘긴다”가 아니라, 전체 경우와 제외 경우 중 어느 쪽으로 정리할 수 있는지 판단한 뒤 재진입하는 기준이었다.

오답 옆에는 “중복된 원소를 구분하지 말 것, 조건을 만족하지 않는 묶음을 먼저 셀 것”이라고 적었다. 선택조건과 경우수를 한 덩어리로 처리하지 않고, 조건 때문에 제거되는 배열만 따로 표시한 것이다. 이런 기록은 서신동과외 수업에서 풀이를 다시 볼 때도 정답 표시보다 최초 선택을 추적하게 해 주었다.

조건의 위치를 바꾸자 같은 공식을 외워서는 풀 수 없었다

다음 적용 문제는 숫자를 바꾼 문제가 아니었다.

문자 A, A, B, C를 배열할 때 두 A가 서로 이웃하지 않는 배열의 수를 구하여라.

학생은 잠시 멈췄지만, 이번에는 B와 C가 아니라 A의 위치가 조건이라는 점을 먼저 표시했다. 전체 배열은 여전히 12가지다. 두 A를 하나의 묶음으로 보면 묶음, B, C의 배열은 3!=6가지이므로 A가 이웃하는 경우가 6가지다. 따라서 두 A가 이웃하지 않는 배열은 12-6=6가지이다.

여기서 학생은 앞 문제의 “BC를 묶는다”는 절차를 그대로 복사하지 않았다. 조건의 대상이 바뀌었으므로 묶어야 할 대상을 다시 찾고, 반복문자인 A는 내부 순서를 추가로 세지 않는다고 설명했다. 문제의 표현이 바뀌면 숫자나 식이 아니라 조건의 주어부터 다시 확인하는 행동이 남아 있는지 보는 적용이었다.

순서를 바꾼 세트에서 재진입 판단을 확인하다

마지막 점검에서는 해설을 가린 채 중복순열 문항 세 개의 순서를 바꾸고 제한시간을 줄였다. 학생은 첫 문항에서 전체 배열을 세는 식과 제외할 배열을 세는 식을 분리해 적었다. 두 번째 문항에서 조건을 바로 묶음으로 만들 수 없자 30초 표시를 하고 다음 문제로 넘어갔다. 세 번째 문항을 끝낸 뒤 다시 돌아와 조건을 위반하는 경우를 먼저 세고 답을 완성했다.

검산할 때는 정답 숫자만 확인하지 않았다. 전체 12가지에서 제외한 6가지를 빼는 방향이 맞는지, A를 묶었을 때 중복으로 나누었는지, 묶음 내부 순서를 불필요하게 더하지 않았는지를 차례로 점검했다. 문항 순서와 조건의 대상이 달라져도 학생 스스로 “전체와 제외를 분리하고, 30초 뒤 이동한 뒤 재진입한다”는 기준을 꺼냈다면 중복순열의 실전 판단이 유지된 것으로 보았다.