서신동 중3수학과외

서신동 생활권에서 확인한 이차함수 그래프의 폭

서신중흥아파트와 삼천개나리아파트가 있는 생활권에서 중3 수학 문제를 풀이하다 보면 이차함수 그래프의 모양만 보고 계수의 크기를 짐작하는 경우가 있습니다. 이번 서신동과외 수업에서는 다른 개념으로 넓히지 않고, y=ax²에서 |a|가 그래프의 폭과 어떻게 연결되는지만 살펴보았습니다.

그래프를 먼저 본 순간 생긴 판단

문제에는 세 그래프가 제시되어 있었습니다.

• ① y=2x²
• ② y=⅓x²
• ③ y=-x²

질문은 “위로 열린 두 그래프 중 폭이 더 넓은 것을 고르고, 아래로 열린 그래프와 폭을 비교하여 설명하시오.”였습니다. 학생은 답안에 먼저 “①은 계수가 2이므로 좁고, ②는 계수가 1보다 작으므로 넓다. ③은 아래로 열리므로 가장 넓다.”라고 적었습니다.

계산을 길게 하지는 않았지만, 그래프 그림의 벌어진 정도와 예제에서 보았던 순서를 떠올려 곧바로 판단했습니다. 실제로 확인한 수치는 ①에서 x=1일 때 y=2, ②에서 x=1일 때 y=⅓, ③에서 x=1일 때 y=-1뿐이었습니다.

결과보다 앞선 최초의 어긋남

첫 번째 잘못은 “아래로 열리면 위아래 방향이 달라지므로 폭도 더 넓다”고 판단한 지점입니다. 폭을 결정하는 기준은 계수의 부호가 아니라 |a|의 크기입니다. 따라서 ③의 a=-1에서 폭에 직접 대응하는 값은 -1이 아니라 |-1|=1입니다. 부호는 그래프가 위로 열리는지 아래로 열리는지를 나타내지만, 폭을 비교할 때는 절댓값으로 바꾸어야 합니다.

그래프의 방향은 a의 부호, 폭의 비교는 |a|의 크기로 확인한다.

한 줄 기준으로 다시 읽은 식

학생이 이미 적어 둔 x=1에서의 값은 그대로 활용했습니다. 각 식의 계수만 따로 읽으면 ①은 |2|=2, ②는 |⅓|=⅓, ③은 |-1|=1입니다. 같은 x=1에서 원점으로부터 세로 방향 변화의 크기를 비교하면 ⅓, 1, 2의 순서입니다. 따라서 ②가 가장 넓고, ③이 그다음이며, ①이 가장 좁습니다.

이때 “아래로 열렸으니 넓다”를 덧붙이지 않고, 식에서 직접 대응하는 계수의 절댓값만 사용하도록 풀이를 고쳤습니다. 학생의 기존 계산을 모두 지우는 대신, 폭을 말하는 문장 앞에 “|a|를 비교하면”이라는 기준 하나를 넣었습니다.

표로 제시된 변형 문제

다음에는 식이 한꺼번에 주어지지 않고, 꼭짓점이 모두 원점인 세 포물선의 x=2에서의 y값이 표로 제시되었습니다.

그래프	x=2일 때 y	열린 방향
P	8	위
Q	-2	아래
R	1	위

식의 형태가 직접 보이지 않아도 y=ax²에서 x=2이면 y=4a이므로, 각 그래프의 계수는 표의 y값을 4로 나눈 값입니다. P는 a=2, Q는 a=-½, R은 a=¼입니다. 폭을 비교할 때는 |2|, |-½|, |¼|, 즉 2, ½, ¼을 비교합니다. 그러므로 R이 가장 넓고 Q, P 순으로 좁습니다. Q가 아래로 열린다는 정보는 방향을 확인하는 데만 쓰고 폭 판단에는 섞지 않았습니다.

며칠 뒤, 기준을 스스로 꺼내다

힌트 없이 새 문제를 제시했습니다. 그래프 A는 y=¾x², 그래프 B는 y=-3x²이고, 두 그래프 중 어느 것이 더 넓은지 설명하는 문제였습니다. 학생은 그림부터 고르지 않고 “A의 |a|는 ¾, B의 |a|는 3이다. |a|가 작은 A가 더 넓다.”라고 적었습니다. 이어 x=2를 대입해 A에서는 y=3, B에서는 y=-12가 된다는 것을 확인하고, 세로 변화의 크기도 3과 12이므로 B가 더 좁다는 검산을 덧붙였습니다.

마지막에는 “B가 아래로 열려서가 아니라 |-3|이 ¾보다 크기 때문에 좁다”고 설명했습니다. 서신동중3수학과외에서 확인한 핵심은 그래프의 인상이나 예제 순서가 아니라, 식과 그래프에서 직접 대응하는 계수의 절댓값을 끝까지 기준으로 삼는 것이었습니다.