삼천동 중등수학과외

삼천동중등수학과외, 산점도 네 점에서 마지막 점까지 증가하는지 확인하는 법

산점도와 상관관계에서는 답을 맞히는 것과 그 답이 왜 성립하는지 설명하는 것이 조금 다릅니다. 자료쌍 (1,13), (2,14), (3,15), (4,16)을 좌표평면에 표시하면 x가 1씩 커질 때 y도 13, 14, 15, 16으로 1씩 커집니다. 따라서 점들은 오른쪽 위 방향으로 함께 모이고, 두 변수가 함께 증가하는 양의 상관관계가 있다고 말할 수 있습니다. 다만 “마지막 점까지 포함하면 계속 증가하나요?”라는 질문에는 네 점을 모두 확인했다는 근거가 필요합니다. 삼천동중등수학과외 수업에서는 맞힌 결론을 다시 고치기보다, 전체 경향과 한두 점의 인상을 구별해 풀이에 남기는 연습을 합니다.

네 점을 모두 읽어야 양의 상관관계의 근거가 보입니다

기본 자료에서 중요한 표시는 각 점의 x좌표와 y좌표를 차례대로 연결해 읽는 것입니다. x=1일 때 y=13, x=2일 때 y=14, x=3일 때 y=15, x=4일 때 y=16이므로, x의 변화량은 +1, +1, +1이고 y의 변화량도 +1, +1, +1입니다. 마지막 점 (4,16)도 바로 앞 점 (3,15)보다 위에 있으므로, 이 자료에서는 마지막 점까지 y값이 계속 증가한다고 설명할 수 있습니다. 그래프에 오른쪽 위 방향의 경향선을 가볍게 긋는 것은 전체적인 양의 관계를 보기 위한 것이며, 선 자체가 원인이나 규칙을 증명하는 것은 아닙니다.

여기서 “양의 상관관계이므로 원인과 결과도 알 수 있다”라고 이어 쓰면 조건이 부족합니다. 예를 들어 두 자료가 함께 커진다는 사실은 확인했지만, 어느 변수가 다른 변수의 원인인지, 다른 요인이 있는지는 이 네 쌍만으로 판단할 수 없습니다. 풀이에는 “x가 증가할수록 y도 증가하므로 양의 상관관계가 있다. 그러나 함께 변한다는 관찰만으로 원인과 결과는 확정할 수 없다”라고 적는 편이 정확합니다. 짧은 문장이라도 점의 위치와 판단을 연결하면 정답의 근거가 분명해집니다.

마지막 점을 (4,12)로 바꾸면 무엇이 달라질까요?

비교 자료에서는 앞의 세 점 (1,13), (2,14), (3,15)은 그대로이고 마지막 점만 (4,12)입니다. x는 1에서 4까지 증가하지만 y는 13→14→15까지 올라간 뒤 12로 내려갑니다. 따라서 y의 변화량은 +1, +1, -3이 되어, 마지막 점까지 계속 증가한다고 말할 수 없습니다. 단조 증가는 입력값이 커질 때 출력값이 한 번도 작아지지 않는 관계인데, (3,15)에서 (4,12)로 갈 때 15보다 12가 작으므로 그 조건이 깨집니다.

이때 앞의 세 점만 보고 “완전히 증가하는 그래프”라고 결론 내리지 않도록 마지막 점에 동그라미를 치고 15와 12를 비교하게 합니다. 예외처럼 보이는 한 점을 무시하라는 뜻이 아니라, 전체 판단에 포함해야 한다는 뜻입니다. 산점도는 모든 점이 한 직선 위에 있어야만 관계를 설명할 수 있는 그림은 아니지만, 이 비교 자료에서는 적어도 네 점 전체가 계속 증가한다는 주장은 성립하지 않습니다. 경향을 말할 때와 단조 증가를 말할 때 필요한 근거가 같지 않다는 점도 함께 구분합니다.

며칠 뒤에는 답을 가리고 근거를 다시 세웁니다

당일에 정답을 확인한 뒤에는 며칠 후 풀이 기록 없이 두 자료를 다시 제시합니다. 기본 자료에서는 네 점의 y값이 13, 14, 15, 16으로 어떻게 변하는지 표시하고, 양의 상관관계와 인과관계의 구분을 설명할 수 있는지 봅니다. 비교 자료에서는 (4,12)를 포함해 15 다음에 12가 된다는 사실을 써서 단조 증가가 깨짐을 스스로 판단하는지 확인합니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 화살표, 좌표값 비교, 간단한 문장으로 근거를 보여도 충분합니다.

다음 학습은 “마지막 점까지 증가하는가”라는 질문에 모든 점의 좌표를 근거로 답하고, 함께 변하는 자료만으로 원인을 확정할 수 없다는 이유를 구분해 제시할 때 이어집니다. 반대로 마지막 점을 빼고 판단하거나 양의 상관관계와 원인·결과를 바로 연결한다면, 산점도에 표시한 네 점과 y값의 변화부터 다시 확인하는 것이 적절합니다.

단조 증가는 x가 커질 때 y가 한 번도 작아지지 않는지 보는 기준이고, 양의 상관관계는 점들의 전체적인 경향을 보는 기준입니다. 일부 구간에서 y가 감소했다는 사실만으로 양의 상관관계가 없다고 결론 내리지는 않습니다.