삼천동 고1수학과외
삼천동 고1수학과외, 함수의 뜻을 조건 변화로 읽는 연습
문제를 풀던 학생은 함수식을 계산하는 데에는 큰 어려움이 없었지만, 정의역에 제한이 붙자 답을 그대로 확장했다. 식에 숫자를 대입해 얻은 값만 맞추려다 입력할 수 없는 값까지 함수의 대응으로 포함한 것이 핵심 오류였다.
값을 구하는 것과 대응을 해석하는 것은 달랐다
예를 들어 \(f(x)=\frac{1}{x-2}\), 정의역이 \(x>2\)인 경우를 살펴보았다. 학생은 \(f(3)=1\)을 구한 뒤 \(x=1\)도 식에 넣어 \(-1\)을 얻고 같은 함수의 값이라고 정리했다. 하지만 \(x=1\)은 제시된 정의역에 속하지 않으므로 해당 조건 안에서는 함수의 입력으로 사용할 수 없다.
함수는 식만으로 결정되는 것이 아니라, 입력할 수 있는 값과 그에 대응하는 출력값의 관계로 해석해야 한다.
교사는 계산을 다시 시키기보다 문제에 적힌 정의역을 식 옆에 따로 표시하게 했다. 이후 모든 대입값이 그 범위 안에 있는지 먼저 확인하도록 하자, 학생은 식의 모양만 보고 판단하던 습관에서 벗어나 조건이 대응을 제한한다는 점을 구분하기 시작했다.
표현이 바뀌어도 정의역을 보존하기
다음 문항에서는 \(t=x-2\)로 문자를 바꾸어 \(f(x)=\frac1t\)처럼 나타냈다. 학생은 새 문자 \(t\)에 별도 조건이 없다고 생각했지만, \(x>2\)에서 \(t>0\)이 함께 따라온다는 것을 확인했다. 식의 문자가 바뀌어도 입력 범위가 사라지는 것은 아니므로, 대응 관계를 옮길 때 조건도 함께 전이해야 한다.
- \(x>2\)이면 \(t=x-2>0\)
- 따라서 \(t=0\)이나 \(t<0\)인 값은 같은 조건의 입력으로 볼 수 없다
- 새 표현에서도 원래 정의역의 제한을 유지해야 한다
학생은 그래프를 간단히 그려 \(x=2\)를 기준으로 오른쪽 부분만 해당한다는 것을 확인했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문자를 바꾸고 그래프로 옮긴 상황에서도 같은 조건이 유지되는지 살피면서 함수의 뜻을 표현 간의 대응으로 이해했다.
처음 보는 문항에서 범위를 다시 확인하다
마지막에는 \(g(u)=\sqrt{u+1}\), 정의역 \(u\ge -1\)인 문항을 제시했다. 학생은 \(g(-2)\)를 계산하려다 정의역 밖이라는 점을 먼저 찾아 답을 진행하지 않았다. 이어 \(u=-1\)에서는 \(g(-1)=0\)이 되어 경계값이 포함된다는 것도 구분했다.
최종적으로 학생은 후보 답을 식에 대입하는 데 그치지 않고, 그 입력값이 정의역에 속하는지와 출력값이 식의 조건에 맞는지를 함께 확인했다. 함수 문제에서 계산 결과보다 먼저 대응의 범위를 읽어야 한다는 판단 기준이 새 문항에도 적용되었다.