삼천동 고3수학과외

경계에서 경우의 수가 달라지는 순간

삼천개나리아파트와 삼천광진목화아파트가 있는 생활권에서 진행한 고3 수학과외 복기에서, 학생은 중복순열 문제를 보자마자 각 자리에 들어갈 수를 곱하는 방식으로 출발했다. 숫자 0, 1, 2, 3을 중복해서 사용하여 네 자리 수를 만들되, 첫 자리는 0이 아니고 숫자 2를 적어도 한 번 포함하라는 문제였다.

학생의 첫 메모는 “첫 자리 3가지, 나머지 세 자리 4가지씩이므로 3×4³”이었다. 전체 네 자리 수를 세는 계산 자체는 192로 맞았지만, 숫자 2가 반드시 들어가야 한다는 선택조건을 아직 반영하지 않은 상태였다. 학생은 일반적인 자리별 선택 규칙을 경계조건에도 그대로 적용한 셈이었다. 특히 첫 자리에는 0이 올 수 없다는 조건과, 어딘가에 2가 있어야 한다는 조건을 하나의 곱셈식에 억지로 합치려 하면서 뒤 계산까지 이어 가려 했다.

경계조건을 먼저 떼어 내다

풀이를 멈춘 뒤 학생은 문제의 조건을 두 종류로 나누었다. 첫째는 첫 자리에서 0을 제외하는 제한이고, 둘째는 네 자리 전체에 2가 최소 한 번 나타나야 한다는 필수원소 조건이었다. 경우의 수를 세기 전에 조건을 만족하지 않는 대상을 세어 빼는 보완 방법을 선택했다.

먼저 첫 자리만 1, 2, 3 중 하나이므로 제한 없이 가능한 네 자리 수는

3×4×4×4=192

이다. 여기서 숫자 2가 한 번도 나오지 않는 경우를 따로 세면 첫 자리에는 1 또는 3만 가능하고, 나머지 자리에는 0, 1, 3만 가능하다. 따라서 제외할 수는

2×3³=54

이다. 그러므로 조건을 만족하는 수는 192-54=138이다. 학생은 ‘중복해서 선택 가능하다’는 경우수와 ‘반드시 포함해야 한다’는 선택조건을 별도 줄에 적은 뒤에야 두 규칙이 충돌하지 않는다는 점을 확인했다.

이때 사용하지 않은 정보는 옆에 작게 표시하고, 마지막에 실제로 사용한 조건만 동그라미쳤다. 풀이 종료 후 첫 자리가 0이 아닌지, 숫자 2가 적어도 한 번 들어갔는지를 원래 문장과 대조했다. 삼천동과외 수업에서는 이처럼 답을 빨리 계산하는 것보다 결론을 바꾸는 경계조건을 먼저 확인하는 습관을 교정의 기준으로 삼았다.

조건의 위치를 바꿔 다시 세기

같은 숫자를 단순히 바꾸는 대신 문제의 조건을 바꾸었다. 이번에는 0, 1, 2, 3을 중복 사용해 네 자리 수를 만들고, 첫 자리는 0이 아닌 짝수이며 숫자 0을 적어도 한 번 포함한다고 했다. 학생은 해설을 보지 않고 먼저 조건을 분리했다.

첫 자리는 짝수이면서 0이 아니므로 2 하나뿐이다. 따라서 조건을 무시한 전체 경우는 1×4³=64이다. 숫자 0이 전혀 없는 경우에는 첫 자리는 여전히 2이고 뒤 세 자리는 1, 2, 3 중에서 고르므로 1×3³=27이다. 답은 64-27=37이다. 여기서 첫 자리 조건을 뒤 세 자리와 똑같이 세면 안 된다는 점이 앞 문제와 다른 경계였다. 학생은 필수원소인 0을 반복 선택 자리와 분리해 기록했고, ‘첫 자리 후보’와 ‘나머지 자리 후보’를 다른 줄에 배치했다.

유형명을 지운 최종 점검

마지막 100분 실전 세트에서는 중복순열이라는 단원을 가린 채, “숫자 1, 2, 3, 4로 네 자리 수를 만들 때 첫 자리는 홀수이고 4가 적어도 한 번 포함된다”는 문항을 제시했다. 학생은 먼저 첫 자리 후보를 1, 3으로 제한하고, 전체를 2×4³로 세었다. 이어 4가 없는 경우를 2×3³으로 계산하여 답을 2×4³-2×3³=74로 정리했다.

검산할 때는 계산 결과만 확인하지 않았다. 4가 한 번도 없는 수를 제외한 것이 맞는지 작은 예를 직접 만들고, 첫 자리가 홀수라는 조건이 모든 경우에 남아 있는지 역추적했다. 학생이 스스로 “필수조건을 먼저 고정하지 않으면 일반적인 곱셈 규칙이 경계에서 오답을 만든다”고 설명한 점에서 교정 행동이 유지되었다. 이 판단은 삼천동고3수학과외 학습 기록에서도 새로운 숫자와 조건이 주어졌을 때 그대로 재현되었다.