삼천동 중1수학과외
삼천동 생활권 중1수학과외, 거리와 시간의 관계를 식으로 세우는 과정
삼천개나리아파트와 떡정거리 주변 생활권, 전주해성중학교와 전주효문중학교가 포함된 지역에서 중1수학과외를 진행하며 한 학생의 거리와 시간 문제 풀이를 살펴보았다. 문제는 두 사람이 같은 길을 이동하다가 특정 지점에서 만나는 상황이었다. 핵심은 계산보다 먼저 무엇을 미지수로 둘지, 어느 순간의 거리와 시간이 같은지를 판단하는 것이었다.
학생의 한 줄에서 시작된 오류
문제에는 두 사람이 서로 다른 시각에 출발하고, 한 사람은 시속 4km, 다른 사람은 시속 6km로 이동한다고 되어 있었다. 두 사람은 출발 후 일정 시간이 지나 한 지점에서 만났으며, 한 사람이 이동한 거리는 다른 사람보다 3km 많았다. 학생은 곧바로 다음과 같이 적었다.
4x+3=6x
학생은 빠르게 움직인 사람의 거리가 더 많다는 문장을 보고, 두 속도에 같은 시간 x를 곱한 뒤 3을 더했다. 그러나 여기서 풀이가 어긋났다. 두 사람이 동시에 출발한 것이 아니라는 조건을 확인하지 않은 채, 두 사람의 이동 시간을 모두 x로 둔 것이 최초의 잘못이었다. 3km는 한 사람의 거리 전체에 무조건 더하는 수가 아니라, 두 사람이 이동한 거리의 차이를 나타내는 조건이었다.
식을 고치기 전에 문제의 조건에 표시를 했다. 느린 사람이 이동한 시간을 x시간, 빠른 사람이 이동한 시간을 x+0.5시간으로 두면, 빠른 사람의 거리가 3km 더 많다는 조건은 다음처럼 나타낼 수 있다.
6(x+0.5)=4x+3
양변을 계산하면 6x+3=4x+3이고, 양변에서 3을 없앤 뒤 2x=0이 된다. 이 결과는 문제의 이동 상황과 맞지 않는다. 따라서 학생은 식을 세운 뒤 계산만 진행하지 않고, ‘두 사람이 만난 시점의 전체 이동 시간’과 ‘출발 시각의 차이’를 다시 구분해야 했다. 빠른 사람이 0.5시간 먼저 출발한 것인지, 늦게 출발한 것인지에 따라 시간이 달라지기 때문이다.
경계 조건을 다시 읽고 식을 재구성하다
교재의 실제 조건은 빠른 사람이 늦은 사람보다 0.5시간 늦게 출발했지만, 만날 때까지 3km를 더 이동했다는 내용이었다. 그러면 느린 사람의 이동 시간을 x시간, 빠른 사람의 이동 시간을 x-0.5시간으로 정해야 한다. 학생은 문제 문장에서 ‘늦게 출발’에 밑줄을 긋고, 두 이동 시간을 나란히 적었다.
느린 사람: 4x
빠른 사람: 6(x-0.5)
빠른 사람의 거리가 3km 더 많으므로 등식은 6(x-0.5)=4x+3이다. 이를 풀면 6x-3=4x+3, 2x=6, x=3이 된다. 느린 사람은 3시간, 빠른 사람은 2.5시간 이동한 셈이다. 각각의 거리는 12km와 15km이므로 실제 거리 차이가 3km라는 조건도 충족한다.
이 과정에서 유지한 것은 거리=속력×시간이라는 기본 관계이고, 바로잡은 부분은 출발 시각에 따른 시간의 경계였다. 문제에 나온 ‘늦게’, ‘먼저’, ‘만날 때’를 시간식에 반영하지 않으면 계산이 맞아도 상황과 다른 답이 된다.
식이 아닌 문장과 표로 바뀐 문제
다음 문제에서는 식을 먼저 주지 않고 문장과 표가 함께 제시되었다. 한 자전거는 분당 200m로 이동하고, 다른 자전거는 분당 150m로 이동한다. 빠른 자전거가 4분 늦게 출발했으며, 두 자전거가 같은 장소에 도착했을 때 빠른 자전거가 이동한 거리가 200m 더 많았다.
학생은 먼저 도착까지 걸린 시간을 표로 나누어 적었다.
- 느린 자전거: x분, 이동 거리 150x
- 빠른 자전거: x-4분, 이동 거리 200(x-4)
문장 속 ‘200m 더 많다’를 표의 두 거리 차이로 바꾸어 200(x-4)=150x+200이라고 썼다. 계산하면 200x-800=150x+200, 50x=1000, x=20이다. 느린 자전거는 3000m, 빠른 자전거는 3200m를 이동했으므로 차이는 200m이다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 문장과 표를 거리·시간 등식으로 연결한 것이다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
주말 복습에서는 새로운 조건이 제시되었다. 두 사람이 같은 장소를 향해 걷고, 한 사람은 시속 5km, 다른 사람은 시속 3km로 이동한다. 빠른 사람이 1시간 늦게 출발했으며, 도착할 때 빠른 사람의 이동 거리가 2km 더 많았다. 학생은 도움 없이 빠른 사람의 이동 시간을 x-1시간, 느린 사람의 이동 시간을 x시간으로 정했다.
5(x-1)=3x+2
학생은 “빠른 사람은 늦게 출발했으므로 이동 시간이 1시간 짧고, 그래도 거리가 2km 많으므로 빠른 사람의 거리에서 느린 사람의 거리에 2를 더한 값과 같게 둔다”고 설명했다. 식을 풀어 x=3을 얻은 뒤, 느린 사람은 9km, 빠른 사람은 10km라고 계산했다. 마지막으로 두 거리의 차이가 2km가 아니라 1km임을 발견하고 스스로 식을 다시 확인했다.
빠른 사람의 거리 5(x-1), 느린 사람의 거리 3x일 때 x=3이면 10km와 9km이므로 주어진 차이는 1km였다. 학생은 조건의 수치와 식이 맞지 않는다는 점을 찾아, 문제의 ‘2km’가 아니라 ‘1km’여야 등식이 성립한다고 지적했다. 정답을 억지로 유지하지 않고, 구한 값을 원래 조건과 단위에 대입해 사건 전체를 검증한 것이다. 이것이 삼천동과외에서 진행한 삼천동중1수학과외 풀이의 핵심이었다.