삼천동 고2수학과외







두 풀이의 차이는 ‘각의 맞은편 변’에서 시작된다
최종 답을 확인했을 때 삼각형이 하나만 나온다면, 먼저 각과 마주 보는 변을 잘못 짝지었는지 살펴봐야 한다. 삼천동과외 수업에서도 사인법칙 계산보다 SSA 조건의 해석에서 오류가 더 자주 발생한다.
학생 풀이 기록
문제에서 \(A=30^\circ\), \(a=5\), \(b=8\)이 주어졌다고 하자. 학생은 다음과 같이 풀었다.
\[ \frac{\sin B}{8}=\frac{\sin30^\circ}{5} \quad\Rightarrow\quad \sin B=0.8 \]
그 뒤 \(B=\sin^{-1}(0.8)\)만 선택하여 삼각형은 하나라고 결론 내렸다. 그러나 사인값이 양수인 각은 \(B=53.13^\circ\)뿐 아니라 \(B=126.87^\circ\)도 가능하다.
SSA에서는 사인값만으로 각을 하나로 정하지 않는다
두 후보 각을 모두 확인하기
첫 번째 경우는
\[ B_1=53.13^\circ,\qquad C_1=180^\circ-30^\circ-53.13^\circ=96.87^\circ \]
두 번째 경우는
\[ B_2=126.87^\circ,\qquad C_2=180^\circ-30^\circ-126.87^\circ=23.13^\circ \]
두 경우 모두 세 각의 합이 \(180^\circ\)보다 작으므로 실제 삼각형이 된다. 따라서 가능한 삼각형은 2개이다.
변의 길이까지 비교하기
사인법칙으로 \(c\)를 구하면 다음과 같다.
| 경우 | 각 \(C\) | 변 \(c\) |
|---|---|---|
| 1 | \(96.87^\circ\) | \(\dfrac{5\sin96.87^\circ}{\sin30^\circ}\approx9.92\) |
| 2 | \(23.13^\circ\) | \(\dfrac{5\sin23.13^\circ}{\sin30^\circ}\approx3.92\) |
가능한 개수를 판단하는 기준
주어진 각 \(A\)와 그 맞은편 변 \(a\), 다른 변 \(b\)가 있을 때 높이 \(h=b\sin A\)를 비교하면 편리하다.
- \(a
- \(a=h\): 삼각형 1개
- \(h
- \(a\ge b\): 삼각형 1개
이번 문제에서는 \(h=8\sin30^\circ=4\)이고 \(4<5<8\)이므로 처음부터 2개의 삼각형이 가능하다는 것을 확인할 수 있다. 반대로 \(a=3\)이면 \(a 사인법칙에서 나온 각의 역삼각함수 값은 보조각까지 고려해야 한다. 각 후보를 대입한 뒤 나머지 각이 양수인지 확인하면 SSA 문제에서 0·1·2개의 경우를 정확히 구분할 수 있다.최종 점검