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삼천동 고2수학과외

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두 풀이의 차이는 ‘각의 맞은편 변’에서 시작된다

최종 답을 확인했을 때 삼각형이 하나만 나온다면, 먼저 각과 마주 보는 변을 잘못 짝지었는지 살펴봐야 한다. 삼천동과외 수업에서도 사인법칙 계산보다 SSA 조건의 해석에서 오류가 더 자주 발생한다.

학생 풀이 기록

문제에서 \(A=30^\circ\), \(a=5\), \(b=8\)이 주어졌다고 하자. 학생은 다음과 같이 풀었다.

\[ \frac{\sin B}{8}=\frac{\sin30^\circ}{5} \quad\Rightarrow\quad \sin B=0.8 \]

그 뒤 \(B=\sin^{-1}(0.8)\)만 선택하여 삼각형은 하나라고 결론 내렸다. 그러나 사인값이 양수인 각은 \(B=53.13^\circ\)뿐 아니라 \(B=126.87^\circ\)도 가능하다.

SSA에서는 사인값만으로 각을 하나로 정하지 않는다

두 후보 각을 모두 확인하기

첫 번째 경우는

\[ B_1=53.13^\circ,\qquad C_1=180^\circ-30^\circ-53.13^\circ=96.87^\circ \]

두 번째 경우는

\[ B_2=126.87^\circ,\qquad C_2=180^\circ-30^\circ-126.87^\circ=23.13^\circ \]

두 경우 모두 세 각의 합이 \(180^\circ\)보다 작으므로 실제 삼각형이 된다. 따라서 가능한 삼각형은 2개이다.

변의 길이까지 비교하기

사인법칙으로 \(c\)를 구하면 다음과 같다.

경우각 \(C\)변 \(c\)
1\(96.87^\circ\)\(\dfrac{5\sin96.87^\circ}{\sin30^\circ}\approx9.92\)
2\(23.13^\circ\)\(\dfrac{5\sin23.13^\circ}{\sin30^\circ}\approx3.92\)

가능한 개수를 판단하는 기준

주어진 각 \(A\)와 그 맞은편 변 \(a\), 다른 변 \(b\)가 있을 때 높이 \(h=b\sin A\)를 비교하면 편리하다.

  • \(a
  • \(a=h\): 삼각형 1개
  • \(h
  • \(a\ge b\): 삼각형 1개

이번 문제에서는 \(h=8\sin30^\circ=4\)이고 \(4<5<8\)이므로 처음부터 2개의 삼각형이 가능하다는 것을 확인할 수 있다. 반대로 \(a=3\)이면 \(a

최종 점검

사인법칙에서 나온 각의 역삼각함수 값은 보조각까지 고려해야 한다. 각 후보를 대입한 뒤 나머지 각이 양수인지 확인하면 SSA 문제에서 0·1·2개의 경우를 정확히 구분할 수 있다.

삼천동 고2수학과외 학부모 후기

다른 유형의 독해 문제를 풀 때 아이가 해설부터 찾지 않고, 자기 계산을 한 줄씩 다시 따라가고 있더라고요. 어디를 먼저 볼지 정해 둔 듯 계산한 부분을 차례로 살펴보는 모습이었어요. 예전에는 풀이가 맞았는지만 빨리 확인하려고 답지부터 펼치는 경우가 많았거든요. 삼천동 수학과외 이야기를 나누던 때라 저도 집에서 어떤 식으로 문제를 보는지 유심히 지켜보게 됐습니다. 수학 수행평가를 준비하던 밤에도 비슷한 장면을 보게 됐어요. 답지를 옆에 두고도 바로 열지 않은 채, 앞에서 적어 둔 계산을 한 줄씩 거꾸로 되짚고 있었습니다. 정답만 맞는지 확인하던 모습과 달리, 자기 풀이에서 다시 살펴볼 대상을 먼저 찾아보고 있더라고요.

★★★★☆학부모 후기

삼천동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 아이가 문제를 대하는 모습이 예전과는 달라졌다는 생각이 들었어요. 예전에는 풀이가 맞았는지 답만 확인하고 넘어가는 일이 많았는데, 이번에는 적분 문제의 그래프에서 교점과 구간의 양 끝을 다시 짚어 보더라고요. 그 표시를 기준으로 식을 세우는 모습이 눈에 띄었습니다. 수행평가 자료를 챙기던 밤에 우연히 본 장면이었는데, 그 뒤 독해가 섞인 다른 유형을 풀 때도 비슷했어요. 그래프에 교점을 먼저 표시하고 적분구간의 경계도 따로 남긴 다음, 다시 살펴볼 부분을 분명하게 해 두고 풀이를 이어갔습니다. 답이 맞는지만 보던 때와 달리 어디를 확인해야 하는지부터 표시하고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 일주일 전 저녁에도 아이는 숙제를 미루기보다 책상에 먼저 앉았고, 삼천동 수학 선생님과 수업하며 막힌 문제를 표시만 하던 습관도 조금씩 달라졌습니다. 선생님은 질문을 재촉하지 않고 중간중간 편하게 물어보며 스스로 풀 시간을 주셔서, 시험기간에도 평소 공부 흐름을 크게 놓치지 않는 모습이 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

새 학기를 앞두고 공부 시간을 다시 조정하던 중 삼천동 수학과외를 시작했는데, 아이가 배운 내용을 금방 잊는다며 수업 전 질문도 거의 준비하지 않았습니다. 선생님은 숙제량을 줄여 부담을 덜고, 학교 진도가 늦을 때는 앞서 나가기보다 현재 범위를 차분히 정리하며 설명을 들은 뒤 다시 풀어 보게 했습니다. 집에서도 모르는 문제를 피하기보다 하나씩 해결하려는 모습이 보여 작은 변화지만 참 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 처음 확인한 날에도 예전처럼 막막하거나 부담스럽지는 않았습니다. 삼천동에서 수업을 시작할 때만 해도 실수하기 싫어 답지를 먼저 보곤 했는데, 선생님이 재촉하지 않고 생각할 시간을 주셔서 평일 저녁 숙제도 스스로 먼저 풀어보려 합니다.:VEVENT

★★★★★학부모 후기