삼천동 중2수학과외
분모를 없애는 순간, 모든 항을 함께 확인한 연립방정식 풀이
삼천동의 삼천개나리아파트와 삼천광진목화아파트가 있는 생활권, 전주해성중학교와 전주효문중학교가 포함된 주변에서 진행한 중2수학과외 수업에서는 분수가 있는 연립방정식을 다뤘습니다. 이 유형은 분모를 없앤 뒤 가감법을 적용하는 과정에서 한 항이라도 빠지면 이후 계산이 모두 달라집니다.
첫 식에서 드러난 한 줄의 오류
학생에게 다음 연립방정식을 제시했습니다.
x/2 + y/3 = 4
x/4 - y/6 = 1
학생은 첫 번째 식의 분모 2와 3을 보고 양변에 6을 곱해 3x+2y=24를 적었습니다. 이어 두 번째 식에서는 분모 4와 6을 없애려고 양변에 12를 곱했습니다. x/4는 3x가 되고 -y/6은 -2y가 되어야 하지만, 학생은 계산 줄에 3x-y=12라고 적었습니다. y항에 12를 곱한 뒤 6으로 나누는 과정에서 계수 2를 빠뜨린 것입니다.
이때 바로 답을 고치기보다 학생이 어느 순간에 선택을 잘못했는지 되짚었습니다. 문제는 가감법을 모른 것이 아니라, 분모를 없애는 수를 한 항에만 적용하고 나머지 항에는 따로 적용한 판단이었습니다. 이 잘못된 식을 이용하면 첫 식과 빼거나 더하는 과정도 겉보기에는 진행되므로 오류를 늦게 발견하게 됩니다.
분모를 없앨 때 지켜야 할 한 가지
두 번째 식의 모든 항에 12를 곱하는 장면을 다시 적었습니다.
12(x/4 - y/6) = 12×1
3x - 2y = 12
학생은 x항과 y항을 따로 표시하고, 숫자 12가 괄호 안의 각 항에 모두 적용된다는 점을 확인했습니다. 첫 번째 식은 이미 맞았으므로 그대로 두었습니다.
이제 식은 다음과 같이 정리됩니다.
3x + 2y = 24
3x - 2y = 12
두 식에서 x의 계수와 y의 계수가 어떻게 배치되는지 표시한 뒤 더했습니다. y항이 서로 반대 부호이므로 소거되고, 6x=36에서 x=6을 얻었습니다. 학생은 x=6을 첫 번째 정리식에 대입해 18+2y=24, y=3을 계산했습니다. 계산 결과만 적지 않고, x와 y를 두 원래 식에 각각 넣었습니다.
- 6/2+3/3=3+1=4
- 6/4-3/6=3/2-1/2=1
두 원래 식에서 모두 등식이 성립하는지 확인하면서, 정리된 식에서의 계산과 원래 분수식의 검산을 구분했습니다.
표현과 조건이 바뀐 문제에서 경계 확인
같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 표 형태로 바꾸어 제시했습니다. 표에는 두 식의 각 항과 분모를 다음처럼 배치했습니다.
- 첫째 식: x항의 분모 3, y항의 분모 4, 오른쪽 값 2
- 둘째 식: x항의 분모 6, y항의 분모 8, 오른쪽 값 -1
학생은 각 식에서 분모의 최소공배수를 먼저 골라 첫째 식 전체에는 12, 둘째 식 전체에는 24를 곱했습니다. 이어 부호가 바뀐 둘째 식을 살펴보며, 음수는 y항에만 붙은 것이 아니라 해당 항의 계수에 붙은 것임을 표시했습니다.
또 다른 조건으로 다음 식을 보여 주었습니다.
x/2 - y/3 = 1
-x/4 + y/6 = -1/2
첫째 식에 6을 곱하면 3x-2y=6, 둘째 식에 12를 곱하면 -3x+2y=-6이 됩니다. 학생은 두 식을 더했을 때 0=0이 되는 것을 보고, 이를 x와 y의 값으로 잘못 읽지 않았습니다. 두 식이 서로 반대 모양으로 정리되어 하나의 관계를 반복한 경우이므로, 가감 결과만으로 두 미지수의 값을 하나로 정할 수 없다고 설명했습니다. 이것이 일반적인 소거 성공과 구분해야 할 예외 조건이었습니다.
힌트 없이 다시 세운 판단
수업 끝에 새 문제를 제시했습니다.
x/3 + y/2 = 5
x/6 - y/4 = 1
학생은 먼저 “첫째 식 전체에는 6, 둘째 식 전체에는 12를 곱해야 하며, 곱하는 수는 모든 항에 적용한다”고 말했습니다. 실제로 정리한 식은 2x+3y=30, 2x-3y=12였습니다. 부호가 반대인 y항을 더해 4x=42, x=21/2를 얻고, 첫째 식에 대입해 y=-2를 계산했습니다.
학생은 마지막으로 두 원래 식에 각각 대입했습니다. 21/2를 3으로 나누고 -2를 2로 나누어 첫 식의 합이 5인지 확인했고, 둘째 식에서도 21/2를 6으로 나눈 값에서 -2를 4로 나눈 값을 빼 1이 되는지 검산했습니다. 이번에는 분모를 없애는 첫 판단부터 모든 항과 부호를 함께 확인하고, 가감 뒤 얻은 값도 원래 분수식에서 다시 확인했습니다.
이 과정을 통해 삼천동 생활권의 삼천동과외 수업에서 다룬 분수 연립방정식은 단순히 분모를 제거하는 문제가 아니라, 각 식 전체에 같은 수를 적용하고 서로 반대가 되는 항의 조건을 구별하는 문제로 이어졌습니다. 이후 삼천동중2수학과외에서도 학생은 정리식뿐 아니라 두 원래 식까지 대입해 풀이의 경계를 확인하도록 연습했습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중2 점검 기준
이미 배운 내용을 변형된 문장이나 문제에 적용하는 과정과 서술형에서 빠진 근거를 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
중등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 중등 | 29~44만 원 | 26~40만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
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