용담동 중등수학과외

용담동중등수학과외, 19x+3=41과 19x+1=58에서 양변 계산과 대입 확인하기

일차방정식에서는 식의 모양이 조금 바뀌어도 등식의 양변에 같은 연산을 해야 한다는 관계가 유지됩니다. 다만 기본 문제를 풀 수 있다고 해서 상수항과 오른쪽 수가 달라진 비교 문제까지 자동으로 해결되는 것은 아닙니다. 이번 학습에서는 19x+3=41의 해와, 상수항을 바꾼 19x+1=58의 해를 각각 구하면서 무엇이 유지되고 무엇이 달라졌는지 살펴봅니다. 용담동중등수학과외 수업에서도 답만 맞히는지보다 바뀐 조건을 표시하고 원래 식에 대입해 설명하는지를 함께 확인할 수 있습니다.

19x+3=41에서 ‘+3’을 양쪽에서 지우는 이유

기본 문제 19x+3=41에서 구할 것은 x의 값입니다. x가 든 19x를 혼자 남기려면 왼쪽의 +3을 없애야 합니다. 등식은 저울처럼 양쪽이 같다는 뜻이므로 왼쪽에서만 3을 빼면 균형이 깨집니다. 따라서 양변에서 3을 빼어 19x+3-3=41-3으로 적습니다. 왼쪽은 19x, 오른쪽은 38이 되어 19x=38입니다. 이제 x 앞의 19를 없애기 위해 양변을 19로 나누면 x=38÷19=2가 됩니다. 여기서 ‘양변에서 같은 수를 빼면 어떤 항이 없어지는가’를 묻고, +3이 사라져 19x만 남는다는 점을 식 위에 표시하게 합니다.

답 x=2는 대입으로 확인합니다. 원래 식의 왼쪽은 19×2+3=38+3=41이고 오른쪽도 41이므로 양변이 같습니다. 나누기 계산만 보고 끝내지 않고, 2를 넣었을 때 실제 등식이 성립하는지를 따로 계산해야 해의 의미가 분명해집니다. 기본 문제를 설명할 수 있는 경우에도 이 대입 과정을 적어 보면, 어떤 연산이 양변에 적용되었는지와 마지막 답을 어떻게 검증하는지가 한 흐름으로 연결됩니다.

상수항과 오른쪽 수가 바뀐 19x+1=58 비교하기

비교 문제는 19x+1=58입니다. x의 계수 19와 ‘양변에 같은 연산을 한다’는 원리는 기본 문제와 같습니다. 달라진 조건은 왼쪽 상수항이 +3이 아니라 +1이고, 오른쪽 수가 41이 아니라 58이라는 점입니다. 따라서 기본 문제의 첫 줄을 그대로 복사해 3을 빼면 안 됩니다. +1을 없애야 하므로 양변에서 1을 빼어 19x+1-1=58-1, 즉 19x=57로 만듭니다. 이어서 양변을 19로 나누면 x=57÷19=3입니다.

이 문제의 검산은 x=3을 원래 식에 넣어 하는 것이 정확합니다. 왼쪽은 19×3+1=57+1=58, 오른쪽은 58이므로 양변이 같습니다. 두 식을 나란히 쓰면 기본 문제에서는 41-3=38, 비교 문제에서는 58-1=57이라는 차이가 눈에 보입니다. 같은 ‘빼기’라도 빼는 수는 왼쪽의 상수항에 맞춰 정해야 한다는 판단이 핵심입니다. 비교 문제를 혼자 풀기 전에는 답이나 첫 연산을 알려 주기보다, 어느 수가 바뀌었는지 표시한 뒤 스스로 첫 줄을 선택하게 보는 편이 적절합니다.

표시한 조건과 대입 결과로 다음 문제를 확인하는 방법

풀이를 고칠 때는 두 식의 +3, 41과 +1, 58에 각각 밑줄을 긋고, 양변에서 뺀 수를 같은 줄에 적습니다. 저울 그림을 사용한다면 왼쪽에서 1을 덜어 낸 만큼 오른쪽에서도 1을 덜어 내어야 19x=57이 된다는 관계를 확인할 수 있습니다. 연산표에는 ‘없애려는 항: +1’, ‘양변에 한 연산: -1’, ‘남은 식: 19x=57’처럼 기록합니다. 이렇게 하면 조건을 읽지 못했는지, 조건은 찾았지만 기존 관계를 새 식에 적용하는 데 멈추는지는 한 번의 답으로 단정하지 않고 풀이의 위치를 통해 살필 수 있습니다.

다음 단계에서는 비교 문제 19x+1=58을 스스로 풀고, “무엇이 달라졌는가”와 “x=3을 넣으면 양변이 같은가”에 식으로 근거를 말할 수 있는지 확인합니다. x=3을 대입해 58=58을 보인 뒤에도 첫 단계에서 +1 때문에 양변에 1을 뺐다고 설명할 수 있어야 합니다. 그 확인이 가능하면 상수항과 오른쪽 수가 다시 바뀐 식에서도 먼저 바뀐 수를 찾고 같은 등식 관계를 적용하는 연습으로 이어갈 수 있습니다.