용담동 중1수학과외

용담동 중1수학과외에서 다각형의 외각을 읽는 과정

이번 문제는 오각형 그림에 표시된 외각 중 일부의 크기가 주어지고, 나머지 외각의 합과 특정 각을 구하는 내용이었다. 핵심은 도형의 모양보다 한 꼭짓점에서 만든 외각을 어떻게 읽고, 전체 외각의 합을 조건에 맞게 사용하는가였다.

계산보다 먼저 확인했어야 할 것

학생은 그림을 보자마자 표시된 각들을 더해 식을 만들었다. 공책에는 다음과 같이 적혀 있었다.

112°＋75°＋98°＋x＝360°

오각형의 외각의 합이 360°라는 사실은 알고 있었지만, 그림에는 외각이 다섯 개였고 그중 하나는 75°가 아니라 안쪽에 표시된 각이었다. 학생은 표시된 위치만 보고 모든 각을 외각으로 판단한 것이다. 계산이 틀어진 최초의 순간은 덧셈이 아니라, 각의 종류와 조건을 확인하기 전에 식부터 세운 판단이었다.

식 옆에 작은 점을 찍어 실제로 바깥쪽으로 꺾이는 방향을 표시하게 했다. 각 꼭짓점에서 한 변을 연장했을 때 생기는 각만 외각으로 남기고, 안쪽에 표시된 각에는 ‘내각’이라고 적었다. 그 뒤 주어진 외각은 112°, 98°, 75°가 아니라 112°, 98°, 64°임을 그림의 조건에서 다시 읽었다. 이미 알고 있던 ‘외각의 합은 360°’라는 과정은 그대로 두고, 잘못 포함한 각 하나만 제외했다.

조건을 다시 세워 구한 값

학생은 외각 다섯 개를 순서대로 작은 원 안에 표시했다. 주어진 세 각을 먼저 분리해 적고, 나머지 두 각의 합을 한 덩어리로 보았다.

112°＋98°＋64°＋(x＋y)＝360°
(x＋y)＝360°－274°＝86°

문제에서 두 미지 외각 중 하나가 다른 하나보다 20° 크다고 했으므로, 학생은 그 조건을 말로 다시 읽었다. ‘큰 외각＝작은 외각＋20°’라고 적은 뒤, 86°를 두 각에 나누어 작은 각 33°, 큰 각 53°를 얻었다. 이때 각의 크기를 구하는 과정에서도 오각형의 내각의 합이나 다른 도형의 성질을 끌어오지 않고, 전체 외각의 합과 문제에 주어진 두 각의 관계만 사용했다.

구한 값이 그림의 꺾인 방향과 맞는지도 살폈다. 53°가 33°보다 크고 두 값의 합이 86°이므로, 표시된 조건과 일치했다. 용담동과외 수업에서는 이처럼 답만 적지 않고, 어떤 각을 360°에 포함했는지 한 줄씩 남기게 했다.

그림을 돌리고 질문을 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 같은 오각형을 오른쪽으로 돌려 놓고, 꼭짓점의 이름 순서도 바꾸었다. 이번에는 외각 네 개가 주어진 상태에서 ‘표시되지 않은 외각의 크기’를 묻지 않고, ‘표시된 네 외각이 전체에서 차지하지 못한 각의 크기’를 물었다. 학생은 그림의 방향에 끌려가지 않도록 먼저 문제의 조건만 따로 적었다.

• 전체 외각의 합은 360°
• 주어진 외각은 84°, 71°, 103°, 66°
• 구하는 것은 남은 한 외각

그 뒤 꼭짓점에서 바깥쪽으로 꺾이는 각을 다시 연결해 확인하고, 도형이 회전했어도 외각의 합은 변하지 않는다고 판단했다.

360°－(84°＋71°＋103°＋66°)＝36°

이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 질문을 ‘남은 각’에서 ‘전체에서 부족한 각’으로 바꾸고 그림의 방향도 바꾼 문제였다. 학생은 문장을 먼저 수식으로 바꾼 뒤, 주어진 네 값과 구하는 값을 분리해 계산했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 끝에 별도의 표시나 질문 없이 새로운 그림을 제시했다. 학생은 먼저 각 꼭짓점의 바깥쪽 꺾임을 직접 표시하고, 안쪽 각은 계산에 넣지 않았다. 이어서 “다각형의 외각을 한 바퀴 따라가면 방향이 한 바퀴 돌아 외각의 합은 360°이다”라고 풀이 근거를 설명했다. 주어진 외각 87°, 109°, 76°, 48°을 더해 320°를 만들고, 남은 외각을 40°로 구했다.

마지막으로 87°＋109°＋76°＋48°＋40°＝360°을 직접 확인했다. 이전처럼 그림 안쪽의 각을 잘못 세지 않았고, 도형이 돌아 있거나 질문 순서가 달라도 먼저 외각인지 조건에 맞는지 확인한 뒤 계산했다. 용담동중1수학과외에서 확인한 최종 기준은 정답 자체가 아니라, 외각을 선별한 근거와 360°로 되돌려 검산하는 과정까지 스스로 재현하는 것이었다.