용담동 중2수학과외
용담동 중2수학과외에서 확인한 경우의 수 판단
용담동과외 수업에서 학생은 경우의 수 문제를 풀며 가능한 결과를 빠르게 적어 내려갔다. 문제는 네 장의 카드에서 두 장을 뽑아 두 자리 수를 만드는 상황이었다. 학생은 카드에 적힌 숫자를 하나씩 표시하고, 12와 21, 13과 31처럼 순서가 다른 결과도 모두 별개의 경우로 적었다. 적은 목록 옆에는 이미 나온 숫자에 동그라미를 치고, 같은 숫자가 다시 등장하면 지웠다.
학생은 “중복 없이 나열하라”는 말에 주목해 같은 숫자를 두 번 쓰지 않는 것부터 처리했다. 그러나 계산을 시작하기 전에 두 자리 수에서 십의 자리와 일의 자리의 순서를 같은 것으로 볼지 정하지 않았다. 그 결과 두 카드를 뽑는 활동과 두 자리 수를 만드는 활동을 섞어 세었고, 목록에는 12와 21이 모두 남았다. 계산 결과가 문제의 조건과 맞지 않은 이유는 마지막 덧셈이 아니라, 처음에 순서의 기준을 정하지 않은 데 있었다.
“카드를 뽑는 순서와 완성된 수의 자릿값은 같은 기준으로 세는 것이 맞을까?”
나열 전에 기준을 한 줄로 고정하기
학생이 적어 둔 목록을 모두 지우지는 않았다. 이미 사용한 카드에 표시한 과정은 유지하고, 문제 옆에 “십의 자리와 일의 자리가 다르면 다른 수”라고 먼저 적었다. 이 한 줄을 기준으로 삼자 12와 21은 각각 다른 두 자리 수가 된다는 점이 분명해졌다. 반대로 ‘두 장을 고른 묶음’만 묻는 문제라면 12와 21을 하나로 묶어야 한다는 것도 함께 구별했다.
그다음에는 경우를 무작정 늘어놓지 않고 선택 단계를 나누었다. 십의 자리에는 사용할 수 있는 카드가 4장이고, 그중 하나를 사용하면 일의 자리에는 3장이 남는다. 따라서 각 선택이 이어지는 구조를 4×3으로 기록했다. 학생은 곱셈을 한 뒤, 첫 번째 카드와 두 번째 카드가 겹치지 않았는지 목록의 몇 항을 대입해 확인했다. “첫 자리를 정한 뒤 남은 카드에서 다음 자리를 고르므로 4와 3을 곱한다”고 풀이 옆에 이유도 적었다.
용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 내덕칠거리 인근에서 접하는 생활 속 선택 상황을 예로 들어도 같은 기준을 적용할 수 있지만, 수업에서는 장소보다 선택 순서와 중복 여부를 먼저 확인했다. 금천중학교, 원봉중학교 등이 포함된 생활권의 학생이 접할 수 있는 학교 수학 문제에서도 핵심은 문제에 제시된 결과의 의미를 먼저 정하는 데 있었다.
같은 개념을 표와 여사건으로 바꾸어 보기
이후에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현을 바꾼 문제를 제시했다. 세 종류의 음료와 두 종류의 빵 중 하나씩 고르는 메뉴를 표로 나타내고, “빵 종류가 서로 다른 두 메뉴를 만드는 방법”을 묻게 했다. 학생은 표의 행을 음료, 열을 빵으로 정한 뒤 각 칸에 메뉴 하나씩을 대응시켰다. 순서를 바꾸어 다시 고르는 상황이 아니므로 같은 칸을 두 번 세지 않았고, 음료 3가지와 빵 2가지에서 3×2라고 설명했다.
질문도 바꾸었다. 네 장의 카드 중 두 장을 뽑을 때 “적어도 한 장이 짝수일 경우”를 직접 나열하지 않고, 먼저 전체 경우를 표로 나누었다. 이어 “짝수가 한 장도 없는 경우”를 세어 전체에서 빼는 여사건 방식으로 바꾸었다. 학생은 원하는 사건이 전체 경우 안에 포함되는지 확인한 뒤, 전체 경우에서 조건에 맞지 않는 경우를 빼야 한다고 말했다. 직접 나열할 때와 여사건을 사용할 때의 기준이 달라지지 않는지도 표의 칸을 다시 확인했다.
힌트 없이 다시 세운 첫 판단
수업 끝 무렵 새 문제에서 학생은 1, 2, 3, 4, 5가 적힌 카드 중 두 장을 골라 순서대로 배열하되, 일의 자리가 홀수인 두 자리 수의 개수를 구했다. 도움을 기다리지 않고 문제의 ‘순서대로 배열’에 밑줄을 긋고, 십의 자리와 일의 자리를 구분했다. 일의 자리는 홀수 카드 3개 중 하나를 고르고, 십의 자리는 남은 카드 4개 중 하나를 고르므로 3×4라고 적었다.
학생은 끝나자 “일의 자리를 먼저 정해도 두 자리를 구분하므로 중복되지 않는다. 홀수 조건은 일의 자리에만 적용했고, 십의 자리에는 남은 네 장이 가능하다”고 설명했다. 이어 12, 14처럼 일의 자리가 조건에 맞지 않는 수는 세지 않았는지, 31과 13처럼 자리가 다른 수를 각각 포함했는지 직접 검산했다. 원하는 경우가 전체 배열 안에 들어 있고, 각 결과가 한 번씩만 세어졌다는 근거까지 말하며 풀이를 마무리했다.
용담동중2수학과외에서 확인한 변화는 목록을 많이 적는 데 있지 않았다. 학생은 새 문제를 만났을 때 먼저 결과의 기준을 세우고, 선택 단계를 나눈 뒤 중복 여부와 조건을 스스로 검산했다.