장동 중3수학과외
장동 중3수학과외에서 다룬 그래프의 폭 읽기
핵심 식은 \(y=a|x|\)였습니다.
오답노트에 나란히 놓인 두 표현
학생은 오답노트를 펼쳐 다음 두 문제를 비교했습니다.
① \(y=3|x|\)의 그래프와 \(y=\frac12|x|\)의 그래프 중 어느 그래프가 더 넓게 벌어지는가?
② 꼭짓점이 원점이고 오른쪽으로 갈수록 위로 올라가는 V자 그래프가 있다. \(x=2\)일 때 \(y=1\)이라면 식의 계수는 얼마인가?
첫 번째 문제에서 학생은 두 그래프를 직접 그리며 꼭짓점 \((0,0)\)을 표시했습니다. 이어 \(x=1\)을 대입해 \(y=3\), \(y=\frac12\)를 각각 적었습니다. 이 계산 자체는 정확했습니다. 그런데 답을 고르는 순간, “계수 3이 더 크니까 \(y=3|x|\)가 더 넓다”고 썼습니다.
두 번째 문제에서는 표를 만들었습니다.
- \(x=0\)일 때 \(y=0\)
- \(x=2\)일 때 \(y=1\)
- 따라서 \(1=a|2|\), \(a=\frac12\)
여기서도 식을 세우고 계산한 과정은 맞았지만, 앞의 그래프 판단과 서로 어긋났습니다. 학생은 표현이 식에서 그림으로 바뀌자 그래프의 모양을 먼저 보고 계수의 크기를 단정했습니다.
모양보다 먼저 대응시킨 한 가지
틀어진 최초의 판단은 그래프를 눈으로 보고 “계수가 큰 쪽이 넓다”고 결정한 부분입니다. \(y=a|x|\)에서 폭을 결정하는 기준은 \(a\) 자체가 아니라 \(|a|\)입니다. 원점에서 같은 \(x\)를 넣었을 때 나오는 \(y\)의 크기를 비교하면 그래프 사이의 관계를 식으로 확인할 수 있습니다.
따라서 \(x=1\)을 기준으로 다시 보면 \(y=3|x|\)는 점 \((1,3)\)을 지나고, \(y=\frac12|x|\)는 점 \((1,\frac12)\)를 지납니다. 같은 높이까지 올라가는 데 필요한 가로 거리를 생각하면 \(\frac12\)인 그래프가 더 멀리 퍼져 있으므로 더 넓습니다. 학생이 처음 계산한 값 \(3\)과 \(\frac12\)는 그대로 두고, 그 값과 그래프의 위치를 직접 연결하는 판단만 고쳤습니다.
식·표·그림의 순서를 바꾼 연습
다음 연습에서는 식을 먼저 보여 주지 않았습니다. 표와 그래프 설명만 제시했습니다.
한 그래프는 꼭짓점 \((0,0)\)을 지나며 \(x=2\)일 때 \(y=6\)이다. 다른 그래프는 같은 꼭짓점을 지나며 \(x=2\)일 때 \(y=2\)이다. 두 그래프가 모두 위쪽으로 열린 \(y=a|x|\)의 꼴이라면 어느 그래프가 더 좁은가?
학생은 먼저 첫 그래프에 \(6=a|2|\)를 대응시켜 \(a=3\), 두 번째 그래프에 \(2=a|2|\)를 대응시켜 \(a=1\)을 얻었습니다. 그다음 \(|3|>|1|\)이므로 첫 번째 그래프가 더 좁다고 설명했습니다. 이번에는 그래프의 V자 모양을 먼저 추측하지 않고, 표에 주어진 \(x\)와 \(y\)를 식 \(y=a|x|\)에 대입해 폭의 기준을 찾았습니다. 앞 문제의 숫자나 배열을 그대로 반복하지 않고, 식 대신 표와 서술된 그래프 정보를 사용한 것입니다.
힌트 없이 다시 확인한 장면
마지막에는 다음 문제를 별도의 설명 없이 제시했습니다.
두 그래프 \(y=-2|x|\), \(y=-\frac14|x|\)가 있다. 두 그래프의 폭을 비교하고, \(x=-4\)에서 각 그래프의 \(y\)값을 구하여 판단 근거를 쓰시오.
학생은 먼저 \(|-2|=2\), \(\left|-\frac14\right|=\frac14\)라고 적었습니다. 이어 \(x=-4\)를 대입하여
- \(y=-2|-4|=-8\)
- \(y=-\frac14|-4|=-1\)
을 구했습니다. 두 식 모두 아래쪽을 향하지만, 폭의 비교 기준은 계수의 절댓값이므로 \(\frac14\)인 그래프가 더 넓다고 답했습니다. 마지막으로 구한 값과 그래프의 위치가 맞는지 확인했습니다. \(x=-4\)에서 \(-\frac14|x|\)의 점이 \(-1\)에 있고, \(y=-2|x|\)의 점이 \(-8\)에 있으므로 작은 절댓값의 계수가 더 완만하고 넓다는 설명까지 스스로 덧붙였습니다. 장동중3수학과외 수업에서 확인한 것도 바로 이처럼 표현이 달라도 식의 값과 그래프의 대응을 먼저 찾는 과정이었습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중3 점검 기준
누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
중등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 중등 | 29~44만 원 | 26~40만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
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