장동 고1수학과외
장동 고1 수학 과외에서 절대부등식의 문자 역할을 지킨 사례
장동 생활권의 한 학생은 절대부등식 증명에서 부호를 옮기던 중, |x+y|를 x+y로 바꾸어도 된다고 판단했다. x와 y의 값이 정해지지 않은 상태에서 문자의 부호를 임의로 정한 것이 핵심 오류였다.
문자마다 맡은 역할을 분리하다
문제는 실수 x, y에 대하여 다음 부등식을 증명하는 것이었다.
|x+y| ≤ |x|+|y|
학생은 먼저 x와 y를 특정한 양수처럼 다루었지만, 이 식에서 x와 y는 임의의 실수이고 절댓값은 각 문자의 부호와 관계없이 거리의 크기를 나타낸다. 따라서 부호를 없애는 대신 절댓값의 정의에 맞춰 양변을 비교해야 한다.
교사는 식의 양변을 제곱하는 한 가지 교정법을 사용했다. 두 변은 모두 0 이상이므로 제곱해도 부등식의 방향이 바뀌지 않는다.
(|x|+|y|)2−|x+y|2
= x2+2|x||y|+y2−(x+y)2
= 2(|x||y|−xy) ≥ 0
마지막 부등식은 |x||y|=|xy|이고, 모든 실수 t에 대해 |t|≥t라는 사실에서 성립한다. 이 과정을 통해 x와 y의 부호가 어떻든 문자의 역할을 바꾸지 않고 결론에 도달할 수 있었다.
뺄셈이 들어온 절대부등식으로 전환
다음에는 숫자를 바꾸는 대신 질문의 방향을 바꾸어, 실수 a, b에 대해 다음 명제를 다루었다.
|a−b| ≤ |a|+|b|
학생은 앞의 식을 그대로 복사하지 않고, a−b를 a+(−b)로 해석했다. −b 역시 실수이며 |−b|=|b|이므로 앞서 확인한 관계에 적용하면
|a−b|=|a+(−b)|≤|a|+|−b|=|a|+|b|
가 된다. 문자 하나의 부호가 바뀌었어도 절댓값 안에서는 그 역할을 분리해 보아야 한다는 점을 새로운 표현에 적용했다.
부호를 직접 정하지 않고 결론을 점검하다
마지막에는 식을 전개하지 않고 a=−3, b=5를 선택해 적용 결과를 확인했다. 양변은 각각 8과 8이 되어 등호가 성립했다. 이는 증명 자체를 대신하는 검산은 아니지만, 부호를 임의로 없애는 풀이와 절댓값의 의미를 유지한 풀이가 다른 결과를 낼 수 있음을 확인하는 데 도움이 되었다.
양현고등학교라는 학교명이나 장동의 생활권 정보와 무관하게, 이 사례의 핵심은 절대부등식에서 문자를 특정 부호로 가정하지 않고 절댓값의 성질을 끝까지 보존하는 데 있다.