장동 고3수학과외

같은 기호를 반복할 때, 조건과 배열 수를 분리해서 읽기

장동 생활권의 학습 상담에서 한 학생이 중복순열 문항을 풀며 식, 표, 그림을 서로 다른 문제처럼 받아들이는 장면이 있었다. 장동과외 수업에서는 이 문제를 단순한 계산 연습이 아니라 ‘무엇을 먼저 선택하고, 그 뒤에 몇 가지로 배열하는가’를 구분하는 훈련으로 다루었다.

식부터 쓰기 전에 선택 자리를 표시하다

문항은 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허용해 네 자리 수를 만드는 문제였다. 첫 자리는 짝수이고, 전체 네 자리 안에 숫자 3이 적어도 한 번 들어가야 했다. 학생은 익숙한 중복순열 공식부터 꺼내 2×5³이라고 적었다. 첫 자리의 선택 2가지는 찾았지만, 나머지 자리에서 3이 반드시 등장해야 한다는 선택조건을 경우의 수에 반영하지 않은 것이다.

오류는 계산 중간이 아니라 조건을 읽은 직후에 이미 생겼다. 학생은 표에 ‘첫 자리: 2가지, 나머지: 5가지씩’이라고만 적고, ‘3이 적어도 한 번’이라는 문장을 별도의 조건으로 분리하지 않았다. 앞서 풀었던 조건 없는 중복순열의 순서를 그대로 복사한 셈이었다.

먼저 조건을 두 줄로 나누게 했다.

• 첫 자리의 선택: 2 또는 4이므로 2가지
• 나머지 세 자리: 3이 한 번 이상 포함되어야 함

두 번째 조건은 직접 세는 것보다 여사건을 빼는 편이 간단하다. 나머지 세 자리가 모두 3이 아닌 경우는 각각 1, 2, 4, 5 중 하나이므로 4³가지다. 따라서 첫 자리를 정한 뒤 가능한 배열 수는 5³-4³이고, 전체는

2(5³-4³)=2(125-64)=122

가 된다. 학생에게는 식만 외우게 하지 않고, 같은 내용을 표로 다시 적게 했다. ‘전체 나머지 배열’에서 ‘3이 없는 배열’을 제거한다는 관계를 표의 두 칸에 나누어 쓰자, 경우의 수와 선택조건이 서로 다른 역할을 한다는 점이 보였다.

표가 바뀌어도 먼저 조건을 고정하는 연습

다음에는 숫자 대신 A, B, C, D 네 문자를 사용해 다섯 자리 문자열을 만들되, 첫 문자는 A가 아니고 C가 정확히 두 번 포함되는 문제를 제시했다. 이번에는 식을 바로 주지 않고, 첫 문자가 C인 경우와 B 또는 D인 경우를 표로 나누었다.

• 첫 문자가 C: 남은 네 자리 중 C를 한 자리 고르는 4가지와 나머지 세 자리의 3³가지
• 첫 문자가 B 또는 D: 첫 자리 2가지, 남은 네 자리 중 C 두 자리를 고르는 6가지, 나머지 두 자리의 2²가지

따라서 경우의 수는 4×3³+2×6×2²=108+48=156이다. 학생은 처음에 ‘첫 문자는 A가 아니므로 3가지’라고만 적으려 했지만, C의 개수가 정확히 두 번이라는 조건을 보고 C를 첫 자리에 놓는 경우와 놓지 않는 경우를 분리했다. 숫자와 문자의 차이가 아니라, 조건이 어느 자리에 걸려 있는지를 먼저 확인해야 한다는 판단이 나타났다.

자료 제시 순서를 바꾸어 정답 156과 일부 표만 주고, 어떤 조건을 사용했는지 거꾸로 설명하게도 했다. 학생은 첫 줄에 ‘첫 자리 조건’을 적고, 그 다음에 C의 위치를 선택하는 식을 복원했다. 단순히 답을 맞힌 것이 아니라 각 곱셈의 근거를 말할 수 있는지 확인한 것이다.

힌트 없이 남은 판단

며칠 뒤에는 보기에서 식을 고르는 새로운 문항을 사용했다. 숫자 0, 1, 2, 3을 중복 허용해 다섯 자리 수를 만들고, 첫 자리는 0이 아니며 2가 정확히 두 번 나오는 조건이었다. 학생은 먼저 ‘첫 자리 2’와 ‘첫 자리 1 또는 3’을 나눈 뒤, 각 경우에 남은 2의 위치를 따로 셌다. 첫 자리 2인 경우는 남은 네 자리 중 한 곳에 2를 두고 나머지를 0, 1, 3에서 고르는 방식, 첫 자리 1 또는 3인 경우는 남은 네 자리 중 두 곳에 2를 두는 방식이라고 설명했다.

풀이를 마친 뒤에는 사용한 조건에 동그라미를 치고, 첫 자리에서 0을 허용하지 않았는지 다시 확인했다. 표가 식으로 바뀌고, 조건의 문장이 뒤쪽에 배치되어도 ‘조건을 먼저 고정한 다음 배열 수를 곱한다’는 순서가 유지되었다. 장동고3수학과외 학습 기록에도 정답보다 이 판단의 근거를 남겼다. 중복순열에서 표현이 달라질 때 필요한 것은 새로운 공식이 아니라, 선택조건과 경우수를 분리해 같은 구조로 다시 연결하는 습관이었다.