장동 중2수학과외

분수식이 섞인 연립방정식, 식의 대응부터 다시 세운 수업

이곳의 장동과외 수업에서 학생은 분수가 들어간 연립방정식을 풀다가 계산보다 먼저 식의 대응 관계에서 막혔다. 이번 장동중2수학과외에서는 분모를 없애는 과정과 두 미지수의 관계를 표현이 바뀌어도 유지하는 데 초점을 맞췄다.

처음 적은 식에서 드러난 선택

문제에는 다음과 같은 연립방정식이 제시되었다.

x/2 + y/3 = 5,　x/4 - y/6 = 1

학생은 두 식을 세로로 옮겨 적은 뒤 첫째 식의 양변에 6을 곱해 3x+2y=30을 만들었다. 이어 둘째 식에는 4를 곱해 x-2y=4라고 적었다. 첫째 식의 분모 2와 3을 보고 최소공배수 6을 사용한 과정은 정확했다. 둘째 식의 분모 4와 6을 보고 12를 사용해야 한다는 점도 말로는 알고 있었지만, 식 전체에 4를 곱하면서 y항의 분모 6을 그대로 두었다.

학생은 곧바로 두 식에서 y의 계수가 2와 -2가 된 것을 보고 가감법을 선택했다. 계산 결과 x=17, y=-10을 얻었지만, 이 값들을 원래 식에 넣자 첫째 식의 왼쪽이 5가 되지 않았다. 결과가 틀어지기 전 가장 먼저 어긋난 판단은 둘째 식의 모든 분모를 없애지 않고, 일부 항에만 맞는 수를 골라 곱한 것이었다.

분모를 없애는 한 줄만 바로잡기

이미 맞았던 첫째 식의 처리 방식은 그대로 두고, 둘째 식만 다시 살폈다. 학생은 식 옆에 분모 4와 6을 나란히 표시하고 “두 분모 모두의 배수”라고 적었다. 그 뒤 둘째 식의 양변 전체에 12를 곱했다.

12(x/4 - y/6)=12×1
3x-2y=12

이제 두 식은 3x+2y=30, 3x-2y=12가 되었다. 학생은 y의 계수가 서로 반대라는 점을 표시하고 두 식을 더해 6x=42, x=7을 구했다. 첫째 식에 x=7을 넣어 21+2y=30, y=9/2를 얻었다. 마지막으로 원래 분수식에 대입하여 7/2+(9/2)/3=5, 7/4-(9/2)/6=1을 각각 계산했다. 두 식 모두 성립하자 분모를 없앤 식이 원래 조건을 보존했는지 확인했다.

식이 아닌 문장과 표로 바꾸어 보기

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않기 위해 새로운 문제는 식을 바로 주지 않고 문장으로 제시했다.

어떤 수 x의 3분의 1과 y의 2분의 1의 합은 7이고, x의 6분의 1에서 y의 4분의 1을 뺀 값은 1이다.

학생은 문장을 읽으며 ‘합’에는 더하기, ‘에서 뺀’에는 빼기 표시를 했다. 첫 조건을 x/3+y/2=7, 둘째 조건을 x/6-y/4=1로 옮긴 다음, 각 식의 분모를 따로 표로 정리했다.

• 첫째 식: 분모 3, 2 → 양변에 6을 곱해 2x+3y=42
• 둘째 식: 분모 6, 4 → 양변에 12를 곱해 2x-3y=12

이번에는 식의 순서가 바뀌어 둘째 식을 먼저 적었지만, 학생은 식의 위치가 아니라 x와 y의 계수를 비교했다. 두 식을 더해 4x=54, x=27/2를 구하고, 2x+3y=42에 대입해 y=5를 얻었다. 계산 중 27/2를 2x에 넣을 때 27로 바꾸어 적은 뒤, 분수 표시를 다시 해 오류를 막았다.

도움 없이 관계를 재현한 장면

수업의 끝에는 표와 문장 대신 다음 두 식의 순서를 뒤집어 제시했다.

y/5 - x/2 = -3,　x/3 + y/10 = 4

학생은 힌트를 기다리지 않고 각 식의 분모를 먼저 확인했다. 첫째 식에는 10을, 둘째 식에도 30을 곱해야 한다고 설명했다. 식을 정리하면 2y-5x=-30, 10x+3y=120이므로, 계수를 맞추기 위해 첫째 식에 3을 곱하고 둘째 식에 2를 곱해 y의 계수를 각각 6으로 만들었다.

학생은 “분모가 보이면 항 하나가 아니라 식 전체에 공통으로 곱하고, 그다음 없앨 미지수의 계수를 맞춘다”고 풀이 이유를 말했다. 구한 값을 두 정리된 식뿐 아니라 처음의 두 분수식에도 각각 대입해 좌변과 우변이 같은지 확인했다. 식의 배열과 표현이 달라져도 분모 전체 처리, 계수 대응, 원래 조건 검산의 순서를 스스로 재현한 것이다.