장동 중2수학과외
분수식이 섞인 연립방정식, 식의 대응부터 다시 세운 수업
장동 생활권에는 신영통현대타운1단지와 신영통현대타운2단지, 삼부아파트가 이어져 있고, 전주온빛중학교와 전주화정중학교 등이 포함된 생활권이다. 이곳의 장동과외 수업에서 학생은 분수가 들어간 연립방정식을 풀다가 계산보다 먼저 식의 대응 관계에서 막혔다. 이번 장동중2수학과외에서는 분모를 없애는 과정과 두 미지수의 관계를 표현이 바뀌어도 유지하는 데 초점을 맞췄다.
처음 적은 식에서 드러난 선택
문제에는 다음과 같은 연립방정식이 제시되었다.
x/2 + y/3 = 5, x/4 - y/6 = 1
학생은 두 식을 세로로 옮겨 적은 뒤 첫째 식의 양변에 6을 곱해 3x+2y=30을 만들었다. 이어 둘째 식에는 4를 곱해 x-2y=4라고 적었다. 첫째 식의 분모 2와 3을 보고 최소공배수 6을 사용한 과정은 정확했다. 둘째 식의 분모 4와 6을 보고 12를 사용해야 한다는 점도 말로는 알고 있었지만, 식 전체에 4를 곱하면서 y항의 분모 6을 그대로 두었다.
학생은 곧바로 두 식에서 y의 계수가 2와 -2가 된 것을 보고 가감법을 선택했다. 계산 결과 x=17, y=-10을 얻었지만, 이 값들을 원래 식에 넣자 첫째 식의 왼쪽이 5가 되지 않았다. 결과가 틀어지기 전 가장 먼저 어긋난 판단은 둘째 식의 모든 분모를 없애지 않고, 일부 항에만 맞는 수를 골라 곱한 것이었다.
분모를 없애는 한 줄만 바로잡기
이미 맞았던 첫째 식의 처리 방식은 그대로 두고, 둘째 식만 다시 살폈다. 학생은 식 옆에 분모 4와 6을 나란히 표시하고 “두 분모 모두의 배수”라고 적었다. 그 뒤 둘째 식의 양변 전체에 12를 곱했다.
12(x/4 - y/6)=12×1
3x-2y=12
이제 두 식은 3x+2y=30, 3x-2y=12가 되었다. 학생은 y의 계수가 서로 반대라는 점을 표시하고 두 식을 더해 6x=42, x=7을 구했다. 첫째 식에 x=7을 넣어 21+2y=30, y=9/2를 얻었다. 마지막으로 원래 분수식에 대입하여 7/2+(9/2)/3=5, 7/4-(9/2)/6=1을 각각 계산했다. 두 식 모두 성립하자 분모를 없앤 식이 원래 조건을 보존했는지 확인했다.
식이 아닌 문장과 표로 바꾸어 보기
같은 개념을 숫자만 바꾸지 않기 위해 새로운 문제는 식을 바로 주지 않고 문장으로 제시했다.
어떤 수 x의 3분의 1과 y의 2분의 1의 합은 7이고, x의 6분의 1에서 y의 4분의 1을 뺀 값은 1이다.
학생은 문장을 읽으며 ‘합’에는 더하기, ‘에서 뺀’에는 빼기 표시를 했다. 첫 조건을 x/3+y/2=7, 둘째 조건을 x/6-y/4=1로 옮긴 다음, 각 식의 분모를 따로 표로 정리했다.
- 첫째 식: 분모 3, 2 → 양변에 6을 곱해 2x+3y=42
- 둘째 식: 분모 6, 4 → 양변에 12를 곱해 2x-3y=12
이번에는 식의 순서가 바뀌어 둘째 식을 먼저 적었지만, 학생은 식의 위치가 아니라 x와 y의 계수를 비교했다. 두 식을 더해 4x=54, x=27/2를 구하고, 2x+3y=42에 대입해 y=5를 얻었다. 계산 중 27/2를 2x에 넣을 때 27로 바꾸어 적은 뒤, 분수 표시를 다시 해 오류를 막았다.
도움 없이 관계를 재현한 장면
수업의 끝에는 표와 문장 대신 다음 두 식의 순서를 뒤집어 제시했다.
y/5 - x/2 = -3, x/3 + y/10 = 4
학생은 힌트를 기다리지 않고 각 식의 분모를 먼저 확인했다. 첫째 식에는 10을, 둘째 식에도 30을 곱해야 한다고 설명했다. 식을 정리하면 2y-5x=-30, 10x+3y=120이므로, 계수를 맞추기 위해 첫째 식에 3을 곱하고 둘째 식에 2를 곱해 y의 계수를 각각 6으로 만들었다.
학생은 “분모가 보이면 항 하나가 아니라 식 전체에 공통으로 곱하고, 그다음 없앨 미지수의 계수를 맞춘다”고 풀이 이유를 말했다. 구한 값을 두 정리된 식뿐 아니라 처음의 두 분수식에도 각각 대입해 좌변과 우변이 같은지 확인했다. 식의 배열과 표현이 달라져도 분모 전체 처리, 계수 대응, 원래 조건 검산의 순서를 스스로 재현한 것이다.