만송동 중등수학과외

만송동중등수학과외, 동전과 회전판의 30가지 경우를 근거로 확인하는 방법

앞면과 뒷면이 같은 확률로 나오는 동전 1개와 1부터 15까지의 수가 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 시행할 때, 전체 경우의 수는 30가지이다. 동전 결과는 앞면·뒷면 2가지이고 회전판 결과는 15가지이므로, 한 결과를 고를 때마다 다른 결과 15개가 연결되어 2×15=30이 된다. 이 문제에서 중요한 점은 30이라는 답만이 아니라, 동전의 두 면과 회전판의 각 숫자가 같은 확률이며 두 시행이 서로 영향을 주지 않는다는 조건이다.

30가지를 단순 곱셈이 아닌 순서쌍으로 확인하기

정답을 맞힌 뒤에도 “왜 2와 15를 곱하나요?”라는 설명이 짧다면 풀이 기록을 다시 살펴볼 수 있습니다. 나무그림의 첫 갈래에 앞면, 뒷면을 쓰고 각 갈래 아래에 1부터 15까지를 적으면 (앞면, 1), (앞면, 2), …, (앞면, 15)와 (뒷면, 1), …, (뒷면, 15)가 나타납니다. 같은 결과를 중복해 적지 않았는지 체크하며 세면 15개씩 두 묶음, 모두 30개입니다. 여기서 순서쌍은 동전 결과와 회전판 결과를 함께 적은 하나의 결과입니다. 동전의 두 면이 같은 확률이라는 말은 앞면 묶음 15개와 뒷면 묶음 15개가 어느 한쪽으로 치우치지 않는 출발 조건임을 보여 줍니다.

앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률을 따져 보기

비교 과제에서는 전체 경우를 묻는 데서 한 걸음 더 나아가 (앞면, 1)이라는 한 결과가 나올 확률을 구합니다. 앞의 30가지 순서쌍이 모두 같은 확률이라면 원하는 경우는 그중 정확히 1가지이므로 확률은 1/30이다. 동전에서 앞면이 나올 확률은 1/2, 회전판에서 1이 나올 확률은 1/15이고, 두 시행이 독립이므로 1/2×1/15=1/30으로도 확인할 수 있습니다. 독립이라는 조건은 동전에서 앞면이 나왔다는 사실이 회전판에서 1이 나올 가능성을 바꾸지 않는다는 뜻입니다. 따라서 1/2+1/15처럼 서로 다른 시행의 확률을 더하는 식은 ‘함께’ 일어나는 상황의 계산과 맞지 않습니다.

며칠 뒤 기록 없이 다시 설명할 수 있는지 보기

만송동중등수학과외에서는 당일의 정답만으로 이해를 확정하기보다 며칠 뒤 답을 가린 상태에서 두 가지를 확인할 수 있습니다. 먼저 동전의 앞면과 뒷면이 같은 확률인 이유를 나무그림 또는 순서쌍 표시와 연결해 말하거나 적는지 봅니다. 다음으로 회전판 결과와 동전 결과가 왜 독립인지, 그래서 30개 결과를 같은 가능성의 결과로 볼 수 있는지 확인합니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 (앞면, 1)부터 (뒷면, 15)까지의 배열, 2×15라는 식, 각 갈래의 개수를 이용해 관계를 보이는 방법도 가능합니다. 이후 앞면과 숫자 1의 확률을 도움 없이 1/30으로 구하고, 분자 1이 원하는 순서쌍 하나를 뜻하며 분모 30이 같은 확률의 전체 결과를 뜻한다고 연결하면 다음 복습 범위를 정할 수 있습니다.