만송동 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾은 중복순열의 첫 갈림길

만송동 생활권에서 수능 수학을 공부하던 학생이 중복순열 기출 4점 문항을 풀다가 오답을 냈다. 계산 줄에는 특별한 산술 실수가 없었지만, 정답 해설과 자신의 풀이를 뒤에서부터 맞춰 보니 첫 줄의 경우수 해석부터 달랐다. 이 장면은 만송동과외 수업에서 단순히 정답을 알려 주기보다, 결론을 만든 최초의 판단을 추적하는 사례로 다뤘다.

계산보다 먼저 어긋난 조건 해석

문제는 숫자 1, 2, 3, 4를 중복해서 사용할 수 있는 네 자리 비밀번호의 개수를 묻고, 첫 자리는 1이 아니며 숫자 2는 적어도 한 번 포함된다고 했다. 학생은 ‘2가 포함된다’는 문장을 본 뒤 2를 한 자리에 고정하고 나머지 세 자리를 3가지씩 채워 \(4\times3^3\)으로 계산했다. 그러나 2가 두 번 이상 나오는 경우를 따로 배제하지 않았고, 첫 자리 제한도 그 식 안에서 일관되게 반영하지 못했다.

해설의 마지막 수와 자신의 식을 비교한 학생은 뒤의 거듭제곱 계산만 다시 고치려 했다. 하지만 실제 최초 오류는 계산이 아니라 ‘조건을 만족하는 전체 경우’와 ‘특정 숫자를 한 번 정해 놓은 경우’를 같은 것으로 본 첫 판단이었다. 숫자 2의 등장 횟수가 정해져 있지 않은데 한 자리만 선택한 순간, 이후 계산이 맞아도 문제 전체를 셀 수 없게 된 것이다.

오류가 시작된 한 줄만 되돌리기

풀이를 전부 지우지 않고, 학생은 첫 식 옆에 두 문장을 나란히 적었다. ‘중복 허용: 각 자리 4가지’와 ‘첫 자리 0이 아님과 같은 제한은 별도 처리’라는 식으로 선택 규칙과 추가 조건을 분리했다. 그 뒤 전체에서 조건을 만족하지 않는 경우를 빼는 방식으로 다시 세었다.

첫 자리는 1, 2, 3 중 하나이므로 전체는 \(3\cdot4^3\)이다. 여기서 숫자 2가 한 번도 나오지 않는 경우는 첫 자리와 나머지 자리 모두 1, 3, 4만 사용할 수 있으므로 \(3\cdot3^3\)이다. 따라서 답은 \(3\cdot4^3-3\cdot3^3=189\)가 된다. 교정은 ‘중복순열 공식을 다시 외우기’가 아니라, 숫자 2를 한 번 고정했던 최초의 선택을 취소하고 조건을 만족하지 않는 집합을 빼는 데 한정했다.

마지막으로 학생은 자신이 처음 쓴 \(4\times3^3\)이 무엇을 세는지 말로 설명했다. 첫 자리가 될 수도 없는 숫자 4를 포함하고, 숫자 2가 여러 번 나오는 경우와 한 번 나오는 경우를 구별하지 않는 식이라는 점을 확인하자 오류 위치가 계산 중간이 아니라 첫 조건 해석에 있었다는 사실이 분명해졌다.

조건의 위치를 바꾼 독립 문제

같은 숫자를 단순히 바꾼 문제가 아니라, 조건의 위치와 질문을 바꾸었다. 기호 A, B, C로 길이 5의 문자열을 만들되 중복을 허용하고, 첫 자리는 반드시 A, 나머지 네 자리에는 B가 적어도 한 번 들어가야 한다고 제시했다. 이번에는 ‘B를 한 자리에 먼저 배치’하는 방식으로 바로 세지 못하게 했다.

학생은 첫 자리를 먼저 확정한 뒤 남은 네 자리를 모두 채우는 경우 \(3^4\)를 적었다. 이어 B가 한 번도 없는 경우 \(2^4\)를 빼서 \(3^4-2^4=65\)라고 답했다. 이전 문제의 숫자와 문장 순서를 기억해 옮긴 것이 아니라, 첫 자리라는 고정 조건을 먼저 떼어 내고 남은 표본에서 조건을 처리한 것이다. 특히 B가 반드시 한 번만 나오는 것이 아니므로 중복을 허용한 \(3^4\)를 사용해야 한다고 설명했다.

다음 날에도 남아 있던 판단

다음 날에는 해설과 보기 없이, 숫자 0, 1, 2로 만들 수 있는 길이 4의 문자열 중 첫 자리가 0이 아니고 1이 적어도 한 번 나오는 경우를 제시했다. 학생은 먼저 첫 자리 제한을 표시한 뒤 전체 \(2\cdot3^3\)을 만들고, 1이 없는 경우 \(2\cdot2^3\)을 빼는 구조를 스스로 선택했다.

검산 때도 전체 식을 처음부터 반복하지 않았다. 위험한 한 줄인 ‘1이 없는 경우의 선택 수’를 원래 조건에 대입해 첫 자리에는 0을 쓸 수 없다는 점이 유지되는지 확인했다. 만송동과외에서 확인한 변화는 정답 숫자보다, 새로운 조건을 읽을 때 먼저 중복 허용 여부와 고정된 자리를 분리하고, 오답 풀이에서는 계산보다 그 첫 선택을 찾아내는 행동이 스스로 나온다는 점이었다.