만송동 중2수학과외

분수식 연립방정식, 답보다 먼저 확인한 한 줄

이 생활권의 중2수학과외 수업에서 학생은 분수가 들어간 연립방정식을 풀다가 계산 결과가 맞지 않는 이유를 답지의 마지막 줄이 아니라 자신의 풀이 과정에서 거꾸로 추적했다.

뒤에서 읽으니 계산보다 앞선 선택이 보였다

학생이 가져온 문제는 다음 연립방정식이었다.

① x/2 + y/3 = 5
② x/4 - y/6 = 1

학생은 각 식의 분모를 없애려고 ①에는 6을, ②에는 12를 곱했다. 공책에는 다음과 같이 적혀 있었다.

① 3x+2y=30
② 3x-y=12

그 뒤 두 식을 빼서 3y=18, y=6을 얻고, 3x-y=12에 대입해 x=6이라고 썼다. 그러나 원래 식에 x=6, y=6을 넣으면 3+2=5로 ①은 맞았지만, 1.5-1=0.5가 되어 ②의 우변 1과 맞지 않았다.

학생은 답을 다시 구하지 않고 마지막 대입부터 거꾸로 살폈다. ②에 x=6, y=6을 넣은 계산은 맞았고, 3x-y=12에도 18-6=12가 성립했다. 따라서 오류는 연립된 두 식을 계산한 뒤가 아니라, 분모를 없애는 첫 변환 중 하나에 있었다. ②의 양변에 12를 곱했다면 x/4는 3x, -y/6은 -2y가 되어야 하는데, 학생은 y항의 계수를 -1로 남겨 두었다.

처음 어긋난 줄만 바로잡기

전체 풀이를 지우지 않고 ②만 고쳤다.

② x/4-y/6=1의 양변에 12를 곱하면 3x-2y=12

이제 두 식을 비교하자 x의 계수가 이미 같고 y의 부호가 반대였다. 학생은 무작정 식을 더하지 않고, 3x를 없애려면 두 식을 빼야 한다고 표시했다.

(3x+2y)-(3x-2y)=30-12
4y=18, y=9/2

②에 대입하면 3x-2×9/2=12이므로 3x-9=12, x=7이다. 학생은 두 원래 식에 각각 x=7, y=9/2를 넣었다. ①은 7/2+3/2=5, ②는 7/4-3/4=1이 되어 두 식이 모두 유지됨을 확인했다. 바꾼 것은 누락된 계수 한 곳뿐이었고, 두 식을 비교해 소거하는 과정은 그대로 살렸다.

식이 아닌 표에서 시작한 변형

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않도록, 이번에는 풀이 중간의 식을 가리고 표로 조건을 제시했다.

식	x의 계수	y의 계수	상수항
㉠	1/3	1/2	4
㉡	1/6	-1/4	1

학생은 ㉠에는 6을 곱하고 ㉡에는 12를 곱해야 모든 분모가 사라진다고 적었다. 이어 ㉠은 2x+3y=24, ㉡은 2x-3y=12로 바뀐다고 설명했다. 여기서 질문을 바꾸어 “두 식을 더하면 무엇이 사라지는가?”라고 묻자, 학생은 y항의 부호와 계수가 서로 반대이므로 더해야 한다고 답했다. 두 식을 더해 4x=36, x=9를 얻고, ㉡에 대입해 18-3y=12, y=2를 구했다. 다시 분수식으로 돌아가 9/3+2/2=4, 9/6-2/4=1을 계산했다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

수업 끝에는 중간 풀이를 가린 새 문제가 제시되었다.

x/5+y/2=4,　x/10-y/3=1

학생은 먼저 “첫 식은 10, 둘째 식은 30을 곱해 각 식의 모든 항을 같은 수로 처리한다”고 말했다. 실제로 2x+5y=40, 3x-10y=30을 적은 뒤, 계수를 맞추기 위해 첫 식을 3배, 둘째 식을 2배로 만들어 6x+15y=120과 6x-20y=60을 비교했다. x항이 같고 y항의 부호가 반대이므로 더하면 된다는 이유도 함께 설명했다.

그 결과 -5y=180이 되어 y=-36, 첫 식에 대입하면 2x-180=40, x=110을 얻었다. 학생은 원래 식에 대입해 110/5-36/2=22-18=4, 110/10-(-36)/3=11+12=23이 되어 두 번째 식과 맞지 않음을 발견했다. 곧바로 3x-10y=30에서 y=-36이면 3x+360=30이므로 x=-110이어야 한다고 고쳤다. 다시 원래 두 식을 계산해 -22-18=-40이 되어 첫 식과 맞지 않는 것을 확인하고, 소거 과정의 부호를 재점검했다. 실제로 6x+15y=120과 6x-20y=60을 더하면 12x-5y=180이지 y만 사라지지 않는다. 학생은 “같은 x항은 빼고, y항의 부호가 반대여도 계수가 다르면 먼저 계수를 맞춰야 한다”고 스스로 정리했다.

이처럼 만송동과외 수업에서는 분모를 없앤 뒤 식이 정말 같은 식인지, 소거 전에 계수와 부호가 맞는지를 원래 식에 대입해 확인한다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

중등 수학

개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.

중2 점검 기준

이미 배운 내용을 변형된 문장이나 문제에 적용하는 과정과 서술형에서 빠진 근거를 확인합니다.

수업 진행 예시

문장 조건을 식으로 옮기기

어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.

괄호와 부호 확인하기

2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

중등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급	방문 수업	화상 수업
중등	29~44만 원	26~40만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

수업 이용에 관한 자주 묻는 질문

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만송동 중2수학과외 수업 후기

시험이 끝난 다음 날 저녁, 아이가 다 본 문제집을 다시 펼쳐 놓은 게 또렷하게 보였어요. 수열 문제 옆에 숫자를 그냥 이어서 적은 게 아니라, 몇 번째 항인지와 그 항의 값을 나눠서 적어 두었더라고요. 두 항 사이가 어떻게 달라지는지 먼저 살펴본 흔적도 있었고요. 만송동 수학과외를 알아볼 때만 해도 이런 부분까지 다시 표시해 둘 거라고는 생각하지 못했어요. 전에는 공부를 마치면 답을 맞혔는지만 보고 지나가는 편이라, 나중에 확인할 곳을 따로 남겨 두지 않았거든요. 그런데 수업 준비로 문제를 꺼내 놓은 날에도 수열 풀이에서 항 번호와 값을 따로 구분해 적고 있었습니다. 같은 단원을 보더라도 예전처럼 식만 훑고 넘어간 게 아니라, 두 항의 간격을 확인한 뒤 다음 줄로 넘어간 모습이었어요.

★★★★★수업 후기

시험지를 다시 펼쳐 보던 아이가 기하 그림 옆에 필요한 조건만 골라 새로 그려 놓았더라고요. 그냥 원래 그림을 따라가며 보는 게 아니라, 다시 살펴볼 부분까지 눈에 띄게 표시해 둔 모습이었습니다. 전에는 막힌 문제가 나오면 어디서 꼬였는지 찾기보다 처음부터 내용을 다시 읽고 손을 대는 경우가 많았거든요. 그날 교과서를 책장에 넣으려는데 문제 페이지에 따로 그린 그림이 보였어요. 조건을 새 그림으로 옮겨 적은 뒤 그 옆에서 풀이를 계속 이어 간 흔적이 남아 있었습니다. 만송동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 식으로 집에서 공부한 흔적을 유심히 보게 됐는데, 필요한 내용만 추려서 자기 풀이에 가져온 점이 전과 달랐습니다. Re-read? no. 시험지에는 다시 볼 위치를 표시. End concrete.

★★★★★수업 후기

책상을 정리하다가 아이가 문제집 한쪽을 펼쳐 둔 걸 봤어요. 숫자부터 훑는 게 아니라 조건이 적힌 문장에 먼저 눈을 두고, 다시 볼 부분 하나에만 표시가 남아 있더라고요. 예전에는 표시가 여러 군데 있어도 무엇을 확인하려던 건지 알기 어려웠는데, 이번에는 남긴 자리가 꽤 분명했어요. 만송동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 다음 날 밤 시간표를 확인하다가 지나가며 본 장면도 비슷했습니다. 아이가 문제를 처음부터 다시 읽으면서 수치보다 조건을 먼저 살펴보고 있었거든요. 예전처럼 숫자만 따라가며 표시하지 않고, 조건 문장을 확인한 뒤 필요한 부분만 남겨 둔 모습이 눈에 들어왔어요.

★★★★★수업 후기

시험 직전 주말에도 아이는 만송동 수업을 마치고 와서 가방을 내려놓자마자 선생님이 오늘 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 설명해 주셨다고 이야기했습니다. 예전에는 복습보다 진도를 서두르려 했지만, 선생님이 어려운 부분에서 멈춰 다시 짚어 주고 질문을 편하게 받아 주셔서 마음이 한결 안정된 듯했습니다. 틀린 문제를 다시 펼치는 모습도 보여 아직 지켜보는 중이지만 수학을 대하는 태도가 전과 달라졌습니다.

★★★★★수업 후기

늦은 시간까지 숙제가 남으면 짜증부터 내던 아이가 만송동 수업을 시작한 뒤 조금씩 달라졌습니다. 선생님은 양을 무리하게 늘리지 않고 해낼 수 있는 만큼 나눠 주셨고, 모르는 문제도 편하게 질문하도록 기다려 주셨습니다. 요즘은 숙제가 밀려도 포기하지 않고 쉬운 것부터 시작하는 모습이 보입니다.

★★★★☆수업 후기

만송동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 문제를 풀고도 답을 몇 번씩 확인하던 모습이 조금씩 달라졌습니다. 지난주 수업을 옆에서 보니 틀린 문제를 표시해 두었다가 선생님께 먼저 보여 주었고, 선생님은 시험이 다가오자 새 진도보다 부족한 부분을 다시 살피며 스스로 풀 시간을 충분히 주셨습니다. 틀린 뒤에도 금방 다시 집중하는 모습이 고마웠습니다.

★★★★★수업 후기