변동 중등수학과외

변동중등수학과외, 54개·81개 묶음과 162초 반복을 근거로 확인하기

54개와 81개를 남김없이 같은 구성으로 나누되 묶음 수를 최대한 많게 하는 문제의 답은 27묶음이다. 54÷27=2, 81÷27=3이므로 한 묶음에는 각각 2개와 3개가 들어간다. 반면 54초와 81초마다 반복되는 두 신호가 처음 다시 겹치는 때는 162초이다. 두 문제에는 같은 수 54와 81이 나오지만, 첫 문제는 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 ‘묶음 수’를 찾고, 둘째 문제는 두 주기의 공통 배수 중 가장 작은 시간을 찾는다. 변동중등수학과외에서는 답을 맞힌 뒤에도 이 조건의 차이를 풀이에 남기는지 살펴볼 수 있다.

최대한 많은 묶음은 왜 27묶음일까

묶음 수를 x라고 하면 54개도 x묶음으로, 81개도 x묶음으로 남김없이 나누어야 한다. 따라서 x는 54와 81의 공약수여야 한다. 54=2×3³, 81=3⁴이므로 공통으로 들어 있는 인수는 3³=27이다. 즉 최대공약수는 27이다. 27보다 큰 수로 묶으려면 54와 81을 모두 나누어떨어지게 해야 하지만 그런 공약수는 없다. 실제로 54÷27=2, 81÷27=3을 계산해 각 묶음의 구성이 정수인지 확인한다. 이때 27은 한 묶음에 들어가는 개수가 아니라 만들 수 있는 묶음의 수이며, 2개와 3개가 묶음 안의 개수라는 표시를 분리해 두는 것이 중요하다.

같은 수라도 반복 시각에서는 공배수를 찾는다

신호가 54초마다, 81초마다 반복된다면 다시 겹치는 시각 t는 54의 배수이면서 81의 배수여야 한다. 54의 배수는 54, 108, 162, …이고 81의 배수는 81, 162, …이다. 처음 공통으로 나타나는 수가 162이므로 답은 162초이다. 소인수분해로도 54=2×3³, 81=3⁴이어서 각 소인수의 지수를 두 수에서 더 큰 값으로 선택하면 최소공배수 2×3⁴=162를 얻습니다. 162÷54=3, 162÷81=2이므로 162초는 두 주기의 배수이고, 각 신호가 각각 세 번과 두 번 반복된 시각임을 확인할 수 있다. ‘처음’이라는 조건 때문에 162보다 큰 공배수는 답이 될 수 없다.

정답을 가린 뒤 조건을 말·식·표시로 복원하기

기본 문제에서는 “묶음 수가 54와 81을 각각 나누어떨어지게 하는가?”를 먼저 표시하고, 27을 넣어 54÷27=2와 81÷27=3을 써 보게 한다. 비교 문제를 혼자 풀 때에는 풀이 방향을 미리 알려 주기보다 54의 배수와 81의 배수를 적은 뒤 공통 시각을 찾게 한다. 이후 162÷54=3, 162÷81=2라는 대입으로 근거를 확인한다. 설명이 짧다면 이해 부족으로 단정하지 않고, 묶음 수와 묶음 안의 개수를 나눈 식이나 배수 목록으로 같은 관계를 보이는지도 함께 본다. 다음에는 답만 재현하는 대신 27이 두 수의 공약수인 이유와 162가 두 주기의 최소공배수인 이유를 스스로 표시할 수 있는지 확인한다.