변동 중1수학과외

항의 순서를 바꾸어도 식의 뜻은 달라지지 않을까

변동과외 수업에서 학생은 일차식의 덧셈을 연습하던 중, 식의 모양이 달라질 때 무엇을 기준으로 정리해야 하는지에서 멈췄다.

한 줄의 계산에서 드러난 출발점

문제는 다음과 같았다.

“한 묶음에 들어 있는 물건의 수가 3x+2개이고, 다른 묶음에는 x-5개가 있다. 두 묶음의 물건 수를 식으로 나타내어라.”

학생은 종이에 3x+2+x-5를 쓴 뒤, 앞의 3과 뒤의 5를 먼저 계산하여 3x-3+x라고 적었다. 답을 완성하기 전, 왜 그렇게 계산했는지 물으니 문자 항과 상수항을 구분하지 않고 보이는 숫자끼리 먼저 묶었다고 말했다. 결과가 틀어진 최초의 판단은 계산 실수 자체가 아니라 x가 붙은 항과 숫자만 있는 항의 종류를 확인하지 않은 것이었다.

이미 두 식을 더한다는 방향은 맞았으므로 그 과정은 유지했다. 대신 식 위에 선을 그어 3x, x를 한 묶음으로, +2, -5를 다른 묶음으로 표시했다. 부호도 항의 일부로 보아 +2, -5라고 다시 읽었다. 따라서

3x+2+x-5 = 3x+x+2-5 = 4x-3

가 된다고 정리했다. 항의 위치를 바꾸는 것은 가능하지만, 종류가 같은 항끼리만 계산할 수 있다는 점을 한정해서 확인했다.

문장과 괄호식으로 바꿔 다시 읽기

다음에는 같은 내용을 숫자만 바꾼 문제가 아니라 다른 표현으로 제시했다.

“어떤 수의 세 배보다 4 큰 수와, 그 수에서 2를 뺀 수를 더한 식을 간단히 하시오.”

학생은 먼저 어떤 수를 x로 정하고, 두 표현을 각각 3x+4, x-2로 적었다. 그 뒤 두 식을 한꺼번에 계산하지 않고 괄호를 사용해 (3x+4)+(x-2)로 나타냈다. 괄호를 풀 때 두 번째 괄호 앞의 덧셈 부호를 확인하고, 항을 다시 분리하여

3x+4+x-2 = 3x+x+4-2 = 4x+2

를 얻었다. 처음 문제처럼 문자 항끼리, 상수항끼리 정렬했지만, 이번에는 문장 속 ‘보다 4 큰 수’와 ‘2를 뺀 수’가 각각 어떤 부호를 갖는지 먼저 식으로 옮겼다.

표현을 한 번 더 바꾸어, 두 행에 식을 적고 합을 구하게 했다.

• 첫 번째 행: 2a-7
• 두 번째 행: -a+3

학생은 항의 순서를 바꾸어 2a-a-7+3으로 놓았다. 여기서 -a의 마이너스 표시를 빠뜨리지 않도록 항 전체에 동그라미를 쳤다. 그래서 2a-a=a, -7+3=-4로 나누어 계산하고 결과를 a-4로 적었다. 항을 옮기는 순서는 바뀌었지만 부호까지 함께 옮겨야 한다는 점을 스스로 설명했다.

조건을 바꾼 질문에서의 독립 확인

수업 끝에는 “두 식의 합이 5x-1이 되도록 빈칸에 들어갈 식을 찾아라”라는 질문을 주었다. 학생은 바로 숫자를 추측하지 않고, 첫 식을 2x+3으로 놓은 뒤

(2x+3)+□ = 5x-1

이라고 적었다. 합에서 이미 있는 항을 살펴보면 빈칸에는 문자 항 3x와 상수항 -4가 필요하므로 3x-4라고 판단했다. 이때도 항의 종류와 부호를 따로 표시했다.

힌트 없이 새 식 (x-6)+(4x+9)을 제시하자 학생은 먼저 괄호 안의 항을 빠짐없이 읽고, x와 4x, -6과 +9를 각각 연결했다. 정리 결과는 5x+3이었다. 이어 간단한 값으로 x=2를 넣어 원래 식은 (2-6)+(8+9)=13, 정리한 식은 10+3=13이라고 비교했다.

학생은 마지막에 “식의 항 순서는 바꿀 수 있지만, 문자 부분과 부호를 확인한 뒤 같은 종류끼리 모아야 한다”고 풀이 이유를 말하고, 원래 식에 값을 대입해 결과까지 확인했다. 변동중1수학과외에서는 이처럼 한 번의 오답을 지우는 데 그치지 않고, 문장식과 괄호식, 항의 순서가 달라진 문제에서도 같은 판단을 스스로 재현하는지 확인한다.