변동 고1수학과외
변동 고1수학과외, 정의역과 공역의 경계를 함께 판단한 사례
함수의 식을 먼저 계산한 학생은 값이 나오는지만 확인하고 정의역과 공역을 따로 적었다. 하지만 문제에는 두 조건을 동시에 만족해야 한다는 제한이 있었고, 경계값을 포함할 수 있는지 판단하는 과정에서 논리가 끊겼다.
경계값을 식보다 먼저 확인하다
이번에는 계산을 반복하지 않고, 조건을 만족하는 입력과 출력의 범위를 한 줄에 연결해 적도록 했다. 예를 들어 함수가 f(x)=√(x-1)이고 공역이 음이 아닌 실수라면, 제곱근의 조건에서 x≥1을 얻고 함수값은 f(x)≥0임을 함께 확인해야 한다. 정의역과 공역은 각각 따로 고르는 값이 아니라 문제에서 제시한 조건을 동시에 만족하는지 판단하는 기준이 된다.
입력 조건을 만족하는 x인가? 그 x에서 나온 함수값이 공역 안에 들어가는가?
이 두 질문을 풀이 옆에 남기자 경계값 x=1을 제외하던 실수가 사라졌다. 계산 결과만 맞추는 대신, 왜 그 범위를 선택했는지 설명할 수 있게 된 것이다.
표현이 바뀐 조건에도 적용하기
같은 함수를 구간으로 제시하지 않고 “출력값이 2 이상이 되는 입력의 범위”라고 물었다. 학생은 공역의 표현에만 의존하지 않고 f(x)≥2를 세워 √(x-1)≥2를 풀었고, x≥5를 얻었다. 이때 제곱근의 정의 조건 x≥1도 함께 만족하는지 확인해 두 조건의 교집합으로 답을 정리했다.
새 식에서 범위를 검증하다
마지막에는 g(x)=√(3-x)에서 출력값이 1 이하인 입력을 찾게 했다. 부등식 √(3-x)≤1을 풀어 x≥2를 얻은 뒤, 정의 조건 x≤3과 합쳐 2≤x≤3으로 판정했다. 경계 양끝을 실제 식에 대입해 함수값이 각각 1과 0이 되는지 확인하면서 정의역 조건과 출력 조건을 모두 통과하는지 독립적으로 검증했다.
가수원도서관 인근에서 진행한 이 학습에서는 정의역과 공역을 따로 암기하기보다, 입력 조건과 출력 조건을 동시에 적용하는 기준을 세우는 데 초점을 맞췄다.