변동 중3수학과외

변동 생활권에서 살펴본 치환 인수분해의 한 장면

변동과외 수업에서 중3 학생이 주말 복습으로 풀어 온 식을 함께 확인했다. 변동중3수학과외를 진행하며 대전변동중학교가 포함된 생활권의 학습 사례를 살폈고, 동기포에버와 가수원도서관 인근 생활권에서도 자주 접하는 유형이라는 점보다 실제 풀이 기록에 집중했다.

첫 계산보다 먼저 적어 둔 조건

문제는 다음 식을 인수분해하는 것이었다.

x⁴ - 5x² + 4

학생은 주말 복습 노트 첫 줄에 “공통인수 없음, 곱은 4, 합은 -5”라고 적었다. 이어 x²를 한 덩어리로 보아 y=x²로 치환하고, 식을 y²-5y+4로 바꾸었다. 여기까지의 표시는 정확했다.

그런데 다음 줄에서 인수를 고를 때 “1과 4를 곱하면 4이므로 (y+1)(y+4)”라고 적었다. 두 수의 곱만 확인한 채 부호를 정했고, 곧바로

(y+1)(y+4) = y²+5y+4

라고 계산했다. 원래 가운데항은 -5y인데 결과에는 +5y가 나타났으므로 답이 달라졌다.

틀어진 순간은 부호를 고른 자리였다

이 풀이에서 가장 먼저 어긋난 판단은 인수의 곱 조건만 맞는 1과 4를 양수로 선택한 것이다. 공통인수 여부를 확인하고 치환한 과정, 곱셈 전개 과정은 맞았으므로 전부 다시 시작할 필요가 없었다. y²-5y+4에서 두 수는 곱이 4이면서 합이 -5여야 한다. 따라서 1과 4를 사용하되 둘 다 음수로 바꾸어야 한다.

학생은 노트의 조건 부분을 다음처럼 나누어 다시 적었다.

• 두 상수의 곱: 4
• 두 상수의 합: -5
• 합이 음수이고 곱이 양수이므로 두 수 모두 음수

그 뒤 기존 치환은 그대로 두고,

y²-5y+4=(y-1)(y-4)

를 얻었다. 마지막으로 y=x²를 되돌려

(x²-1)(x²-4)

라고 썼다. 이 장면에서 바꾼 것은 인수를 선택하기 전에 합과 부호 조건을 함께 확인한 행동 하나뿐이었다.

모양을 바꾼 새 문제에 적용하기

다음 시간에는 같은 기준을 유지하되 식의 항 순서와 부호가 달라진 문제를 제시했다.

9 - 7x² + x⁴

학생은 먼저 항의 순서를 정리해 x⁴-7x²+9로 읽었다. 그리고 y=x²라고 두어 y²-7y+9로 바꾸었다. 이번에는 상수항이 9이므로 가능한 정수쌍을 살피면서, 곱이 9이고 합이 -7인 두 수는 -?가 아니라 -? 식으로 바로 정하지 않고 실제로 (-1,-9), (1,9), (-3,-3)을 적었다. 이 중 (-? )를 확인하는 과정에서 합이 -7인 쌍은 없다는 것을 발견했다.

따라서 이 식은 정수 계수를 이용한 해당 방식의 인수분해가 되지 않는다고 판단했다. 중요한 점은 억지로 두 인수를 만들지 않고, 곱과 합 조건을 동시에 만족하는 인수가 있는지 먼저 선별했다는 것이다. 다만 위 문제는 독립 변형의 표현을 위해 확인한 것이며, 치환 뒤 인수 선택 조건만 다루었다.

힌트 없이 남긴 마지막 검산

마지막에는 다음 식을 별도의 도움 없이 풀게 했다.

x⁴+x²-6

학생은 먼저 공통인수가 없음을 표시하고 y=x²로 치환했다.

y²+y-6

그 다음 곱이 -6, 합이 1이어야 하므로 3과 -2를 선택해

(y+3)(y-2)

를 적었다. y를 다시 x²로 바꾸어

(x²+3)(x²-2)

를 얻은 뒤, 두 인수를 다시 곱했다.

x⁴-2x²+3x²-6=x⁴+x²-6

학생은 “곱은 -6, 합은 1인 두 수를 골랐고, 전개한 가운데항이 x²로 돌아와 원식과 같다”고 설명했다. 이제 계산을 시작하기 전에 필요한 조건을 모두 확인하고, 치환 뒤에도 같은 기준으로 인수를 선택하는 흐름이 스스로 재현되었다.