변동 중등과외

“분자는 2와 3이니까 5, 분모는 5와 7이니까 12.” 대전변동중학교 학생이 이렇게 계산한 순간, 분수 계산의 실수보다 먼저 확인해야 할 장면이 드러났다. 변동 중등과외에서 분수 계산을 다룰 때 핵심은 통분 절차를 외우는 데 있지 않다. 서로 다른 크기의 조각을 같은 단위로 바꾸어야 더하거나 비교할 수 있다는 이유를 확인하는 데 있다.

분모가 다르면 조각의 크기도 달라진다

분모는 전체를 몇 조각으로 나누었는지를 나타낸다. 따라서 1/3과 1/5는 모두 분자에 1이 있지만, 같은 크기의 1이 아니다. 1/3은 전체를 세 조각으로 나눈 한 조각이고, 1/5는 다섯 조각으로 나눈 한 조각이다. 이 상태에서 분자와 분모를 각각 더하면 서로 다른 크기의 조각을 한데 묶는 셈이 된다.

학생이 통분을 공식처럼 받아들이면 2/3+1/5를 3/8로 적기 쉽다. 그러나 3/8이 실제 합과 맞는지 살펴보면 2/3보다 작아진다. 양수인 1/5를 더했는데 결과가 2/3보다 작다는 점이 반례가 된다. 정답을 바로 고치는 것보다 이 불가능한 결과를 먼저 찾아내면, 오류가 계산 중 어디에서 시작되었는지 분명해진다.

반례로 계산의 시작점을 찾는 연습

연습에서는 완성된 풀이를 처음부터 다시 쓰지 않는다. 먼저 분모와 분자를 바로 더한 결과를 적고, 그 결과가 원래 수보다 커졌는지 작아졌는지 살핀다. 예를 들어 1/2+1/3을 2/5로 계산했다면, 1/2보다 작아졌다는 사실을 확인한다. 더하는 수가 양수인데 결과가 줄었으므로 계산 방식에 문제가 있다는 뜻이다.

이때 학생에게 “통분해야 해”라고 즉시 말하기보다, 두 분수의 한 조각 크기를 비교하게 한다. 1/2 조각과 1/3 조각을 각각 같은 크기의 칸으로 나누어 보면, 한쪽은 3등분, 다른 쪽은 2등분이 되어 있다. 6등분으로 바꾸면 1/2는 3/6, 1/3은 2/6이 된다. 이제 두 분수는 같은 단위 조각을 사용하므로 3/6+2/6처럼 분자만 더할 수 있다.

그림이 공식보다 먼저 보여 주는 것

통분의 이유가 약한 학생에게는 식을 반복해서 쓰게 하기보다 하나의 전체를 같은 크기의 칸으로 나누어 보게 하는 편이 효과적이다. 2/3과 1/4를 계산할 때 먼저 3등분과 4등분의 조각이 같지 않다는 점을 표시한다. 그다음 전체를 12개의 같은 칸으로 바꾸면 2/3은 8/12, 1/4은 3/12가 된다.

여기서 중요한 설명은 “분모를 없애기 위해 바꾼다”가 아니다. “더할 수 있도록 단위의 크기를 맞춘다”가 되어야 한다. 학생이 8/12+3/12=11/12를 적은 뒤에는, 각 분수가 몇 개의 같은 칸을 차지하는지 말로 설명하게 한다. 그림과 계산이 같은 의미를 가리키는지 확인하면 통분이 기계적인 변환으로 남지 않는다.

조건을 바꾼 독립 적용

처음 배운 2/3+1/5 대신 3/4와 2/9의 비교 문제를 제시한다. 이번에는 반례 계산을 먼저 시키지 않고, 학생이 스스로 분모가 다른지와 단위 조각의 크기가 같은지를 판단하게 한다. 분모가 다르므로 바로 비교할 수 없다는 말을 한 뒤 36을 공통분모로 선택하면 3/4=27/36, 2/9=8/36이 된다.

마지막에는 “왜 3과 2를 바로 비교하지 않았는가”를 설명하게 한다. 분자가 나타내는 조각의 개수만으로는 조각 하나의 크기가 다르기 때문에 크기를 판단할 수 없고, 같은 단위로 맞춘 뒤에야 27개와 8개를 비교할 수 있다는 설명이 나오면 독립 적용이 된 것이다. 숫자와 문제 형태를 바꾸었는데도 통분의 필요를 스스로 판단하는지가 확인 기준이다.