변동 중2수학과외

경계값에서 멈춰 다시 본 일차부등식 풀이

변동과외 수업에서 학생은 괄호가 포함된 일차부등식 문제를 풀다가 마지막 줄의 방향을 한참 바라보았다. 문제는 3(2x-1)-4≤2x+7을 만족하는 x의 범위를 구하는 것이었다. 학생은 먼저 괄호를 풀어 6x-3-4≤2x+7이라고 적었다. 이어서 왼쪽의 숫자 항을 묶어 6x-7≤2x+7로 정리하고, x가 있는 항을 왼쪽에 남기려 했다.

그런데 학생은 다음 줄에 6x-2x≤7-7이라고 썼다. 왼쪽의 -7을 오른쪽으로 옮기면서 부호를 바꾸는 것은 맞았지만, 오른쪽의 +7을 왼쪽으로 옮긴 상황처럼 기록한 것이 문제였다. 학생은 이 줄을 기준으로 계산을 계속해 4x≤0, x≤0을 얻었다. 아직 나눗셈에서 방향이 바뀌는 문제는 나오지 않았는데도, 이항할 항과 그대로 둘 항을 먼저 정하지 않아 식의 양변 이동이 뒤섞인 상태였다.

계산보다 먼저 양변의 연산을 적기

교사는 이미 맞게 전개한 6x-3-4≤2x+7을 지우지 않게 하고, 한 줄 전체에 같은 연산을 적용하는 방식으로 다시 쓰게 했다. 학생은 먼저 양변에 4를 더해

6x-3≤2x+11

이라고 적었다. 그다음 양변에서 2x를 빼어

4x-3≤11

을 만들고, 양변에 3을 더해 4x≤14를 얻었다. 이 과정에서 학생은 항을 머릿속으로 건너뛰지 않고, 왼쪽과 오른쪽에 적용한 연산을 같은 줄 옆에 나란히 표시했다. 이 교정은 이항할 때 부호를 외워 바꾸는 행동이 아니라, 양변에 실제로 무엇을 더하고 뺐는지 확인하는 한 가지 수정이었다.

이제 양변을 4로 나누면 x≤7/2이다. 학생은 이 단계에서 나누는 수가 양수인지 동그라미로 확인했다. 만약 음수로 나누었다면 부등호 방향을 바꿔야 하지만, 여기서는 4가 양수이므로 방향을 그대로 둔다고 말로 설명했다. 경계값 7/2를 원래 식에 넣으면 왼쪽은 3(7-1)-4=14, 오른쪽은 7+7=14가 되어 등호가 성립한다. 따라서 경계값을 포함하는 x≤7/2라는 판단이 계산 결과와도 맞았다.

식이 아닌 문장으로 바뀐 조건에 적용하기

같은 시간에 학생은 표현을 바꾼 문제를 받았다. “어떤 수 x의 두 배에서 5를 뺀 값에 4를 곱한 수가, 그 수의 세 배에 9를 더한 값보다 작거나 같다”라는 문장을 부등식으로 나타내고 범위를 구하는 문제였다. 학생은 문장을 바로 계산하지 않고, 먼저 왼쪽을 4(2x-5), 오른쪽을 3x+9로 표시했다. ‘작거나 같다’에 해당하는 기호도 왼쪽에서 오른쪽으로 향하는 ≤로 적어 4(2x-5)≤3x+9를 세웠다.

• 괄호를 풀어 8x-20≤3x+9
• 양변에서 3x를 빼어 5x-20≤9
• 양변에 20을 더해 5x≤29
• 양변을 양수 5로 나누어 x≤29/5

이번에는 숫자만 바꾼 식이 아니라, 문장의 방향을 읽어 부등호를 세우고 괄호 앞 계수의 부호를 확인해야 하는 형태였다. 학생은 각 줄에서 양변에 한 연산만 적용했고, 마지막에 29/5를 대입해 양쪽 값이 같아지는지 확인했다. 또 x=6을 넣으면 왼쪽이 28, 오른쪽이 27이 되어 조건을 만족하지 않으므로 경계값보다 큰 수는 제외된다고 설명했다.

힌트 없이 첫 줄부터 재현한 확인

수업 후반에는 “-2(3x-4)+5≥x-7”을 도움 없이 풀게 했다. 학생은 첫 줄부터 괄호 앞 계수가 음수라는 점에 표시하고 -6x+8+5≥x-7로 전개했다. 이어 양변에서 x를 빼고, 양변에서 13을 빼어 -7x≥-20을 만들었다. 여기서 학생은 멈춰 “-7로 나누으므로 부등호 방향을 바꿔야 한다”고 스스로 말한 뒤 x≤20/7을 적었다.

검산에서는 경계값 20/7을 원래 부등식에 넣어 양변이 같음을 확인하고, x=3을 넣었을 때 왼쪽이 -1, 오른쪽이 -4라서 조건을 만족하지 않는다고 비교했다. 반대로 x=2를 넣으면 왼쪽 1, 오른쪽 -5이므로 조건을 만족한다는 것도 확인했다. 변동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답을 적은 데 있지 않았다. 학생이 괄호 전개 뒤 임의로 이항하지 않고, 양변에 적용할 연산과 나눗셈의 부호를 먼저 판단한 뒤 그 이유와 검산 근거까지 스스로 이어 간 데 있었다.