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본동 중3수학과외

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본동 중3수학과외, 근호 안의 제곱인수만 골라내는 풀이

본동과외 수업에서 학교 프린트를 유형명이나 해설 없이 다시 풀어 보던 중, 한 학생의 풀이가 눈에 들어왔습니다. 문제는 √180을 가장 간단한 꼴로 나타내라는 것이었습니다. 월성주공2단지와 대구월배2차IPARk가 있는 생활권, 레이크뷰행복작은도서관 인근에서 중3수학과외를 진행할 때도 자주 확인하는 내용이지만, 이번에는 정답보다 학생이 처음 어떤 기준으로 수를 꺼냈는지에 초점을 맞췄습니다.

맞지 않은 것은 계산보다 앞에서 시작됐다

학생은 먼저 180을 2×90으로 나눈 뒤 다음과 같이 적었습니다.

√180 = √(2×90) = 2√90 = 2×3√10 = 6√10

마지막의 6√10은 결과적으로 맞지만, 첫 줄의 √(2×90)=2√90은 잘못된 변형입니다. 2는 제곱수가 아니므로 근호 밖으로 바로 나올 수 없습니다. 학생은 앞선 예제에서 4, 9, 16처럼 제곱인 수가 밖으로 나왔던 순서를 기억하고, 이번에도 인수의 모양을 확인하기 전에 수를 꺼내려 했습니다.

이 지점이 최초의 판단 오류였습니다. 뒤에서 90을 다시 9×10으로 나누어 계산한 부분은 맞았지만, 처음 식을 그대로 두면 풀이의 근거가 흔들립니다. 실제로 2√90을 제곱하면 360이 되어 원래의 √180과 같지 않습니다.

한 가지 기준으로 식을 다시 세우다

교정에서는 다른 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 피근수를 인수분해한 뒤 완전제곱인 인수만 근호 밖으로 이동한다는 행동 하나만 다시 적용했습니다. 학생은 180을 다음처럼 배열했습니다.

180 = 36×5 = 6²×5

따라서 식은

√180 = √(6²×5) = 6√5

가 됩니다. 이번에는 2를 먼저 꺼내지 않고, 36이라는 완전제곱인 인수를 찾은 뒤 그 제곱근인 6만 밖으로 옮겼습니다. 앞에서 이미 적었던 180=2×90이라는 계산을 억지로 이어 가지 않고, 최초 판단만 바로잡아 피근수의 구조를 다시 확인한 것이 핵심입니다.

학생은 자신의 공책 아래에 짧게 기준을 남겼습니다.

  • 먼저 피근수를 완전제곱인수와 나머지 인수로 나눈다.
  • 완전제곱인수의 제곱근만 근호 밖으로 보낸다.

표현을 바꾼 문제에서 다시 선택하기

며칠 뒤에는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 인수의 배열과 질문 방향을 바꾼 식을 제시했습니다. 다음은 √(12×75)를 가장 간단한 꼴로 나타내라는 문제였습니다. 학생은 바로 계산하지 않고 먼저 곱을 묶었습니다.

12×75 = (3×4)×(3×25) = 3²×5²×4 = 6²×25? 라고 적었다가, 이 줄은 인수 배열이 지나치게 복잡해질 수 있음을 스스로 확인하고 다시 다음과 같이 정리했습니다.

12×75 = 900 = 30²

그러므로

√(12×75) = √900 = 30

이번에는 문제에 제시된 곱셈 순서를 그대로 따라가지 않고, 피근수 전체에서 완전제곱인 부분을 찾아 밖으로 옮겼습니다. 또 다른 표현으로 √(2²×3×5²)을 간단히 하라고 했을 때에는 2²과 5²만 골라

√(2²×3×5²) = 2×5√3 = 10√3

이라고 적었습니다. 3은 제곱인수가 아니므로 근호 안에 남겨 두었습니다. 같은 세부개념 안에서 식의 모양과 질문을 바꾸었지만, 선택한 기준은 처음과 같았습니다.

힌트가 사라진 뒤의 확인

한 주 뒤 본동중3수학과외 시간에는 풀이 순서나 표시 없이 다음 문제를 주었습니다.

√(2×18×50)을 가장 간단한 꼴로 나타내고, 근호 밖으로 나온 수가 올바른지 확인하라.

학생은 먼저 피근수를 계산해 2×18×50=1800이라고 쓴 뒤, 1800=36×50=36×25×2=30²×2로 정리했습니다.

√1800 = √(30²×2) = 30√2

그다음 별도 힌트 없이 30을 다시 제곱했습니다.

30²×2 = 900×2 = 1800

“밖으로 나온 30을 제곱하고 남은 2를 곱했을 때 처음 피근수 1800이 되므로, 30은 완전제곱인수 900에서 나온 수입니다. 2는 제곱인수가 아니어서 안에 남겼습니다.”

라고 설명했습니다. 마지막에는 정답만 말하는 대신, 밖으로 이동한 수를 다시 제곱해 원래 피근수와 대조했습니다. 이제 학생은 예제의 순서를 기억해 수를 꺼내지 않고, 매번 피근수 안에서 완전제곱인 부분을 먼저 선택하고 있습니다.

본동 중3수학과외 학부모 후기

수학 교재를 가방에 넣기 직전에 아이가 펼쳐 둔 부분을 잠시 들여다보더라고요. 벡터 문제에서 시작점과 끝점 좌표를 종이에 따로 적고, 두 좌표의 차를 순서대로 계산하고 있더라고요. 예예전에는 풀이를 다시 살펴볼 때도 어느 부분이 중요한지 나누지 않고 전체를 비슷하게 훑는 편이었거든요. 본동 수학과외 자료를 출력해 둔 날 잠깐 방에 들어갔을 때도 같은 장면을 보게 됐어요. 좌표부터 옮겨 적은 다음 성분을 확인하고 있었습니다. 문제를 보는 순서가 눈앞에서 꽤 분명해진 느낌이었고, 마지막에는 성분 계산한 부분을 한 번 더 살펴본 뒤 교재를 가방에 넣었어요.

★★★★★학부모 후기

교과서를 책장에 넣으려다 아이 책상 위를 보게 됐어요. 해설지와 자기 풀이를 나란히 펼쳐 놓고, 풀이 전체를 다시 읽는 게 아니라 서로 달라지는 한 줄만 번갈아 살피고 있더라고요. 본동 수학과외라는 말을 주변에서 자주 듣던 때였지만, 그와는 별개로 눈앞의 모습이 꽤 낯설었어요. 예전에는 막힌 문제가 나오면 어디서 꼬였는지 찾기보다 처음부터 다시 읽거나 처음 줄부터 풀곤 했거든요. 그런데 이번에는 답을 바로 확인하지 않고 두 풀이가 갈라지는 지점을 먼저 찾았어요. 시험지를 다시 꺼내 본 날에도 같은 식으로 해설과 자기 풀이의 첫 차이를 찾아낸 뒤, 나중에 볼 부분만 눈에 띄게 표시해 두더라고요.

★★★★☆학부모 후기

본동에서 수학과외를 시작하기 전에는 숙제를 펼쳐 놓고도 집중이 금방 흐트러져 수학은 늘 뒤로 미뤘습니다. 어느 날 모르는 문제가 여러 개 생겨 질문을 적어 갔더니, 선생님은 답을 바로 고치기보다 제가 어느 부분에서 다르게 생각했는지 차분히 함께 찾아 주셨습니다. 요즘은 수업에서 궁금했던 점을 먼저 꺼내고, 숙제도 예전보다 스스로 시작하는 편입니다.

★★★★★학부모 후기

본동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 틀리는 것을 싫어해 어려운 문제 하나를 붙잡고 오래 고민하곤 했습니다. 선생님은 답을 재촉하지 않고 충분히 생각하게 한 뒤, 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 분명히 나눠 주셨고 숙제를 마치면 수업에서 배운 것을 제게 설명하는 모습도 조금씩 늘었습니다. 요즘은 수업 날을 예전처럼 부담스러워하지 않아 부모로서 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기

본동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 수업 중 조용히 듣고는 이해했다고 넘기는 편이었습니다. 난도가 높아진 단원에서 틀린 문제를 다시 볼 때 선생님은 스스로 풀 수 있는 부분은 기다려 주고, 막히는 순간에만 힌트를 주셨습니다. 시험기간에는 대답하는 목소리도 한결 편안해졌고, 결과보다 틀린 문제를 피하지 않는 태도가 자리 잡은 점이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기