본동 중3수학과외

본동 중3수학과외, 근호 안의 제곱인수만 골라내는 풀이

본동과외 수업에서 학교 프린트를 유형명이나 해설 없이 다시 풀어 보던 중, 한 학생의 풀이가 눈에 들어왔습니다. 문제는 √180을 가장 간단한 꼴로 나타내라는 것이었습니다.

맞지 않은 것은 계산보다 앞에서 시작됐다

학생은 먼저 180을 2×90으로 나눈 뒤 다음과 같이 적었습니다.

√180 = √(2×90) = 2√90 = 2×3√10 = 6√10

마지막의 6√10은 결과적으로 맞지만, 첫 줄의 √(2×90)=2√90은 잘못된 변형입니다. 2는 제곱수가 아니므로 근호 밖으로 바로 나올 수 없습니다. 학생은 앞선 예제에서 4, 9, 16처럼 제곱인 수가 밖으로 나왔던 순서를 기억하고, 이번에도 인수의 모양을 확인하기 전에 수를 꺼내려 했습니다.

이 지점이 최초의 판단 오류였습니다. 뒤에서 90을 다시 9×10으로 나누어 계산한 부분은 맞았지만, 처음 식을 그대로 두면 풀이의 근거가 흔들립니다. 실제로 2√90을 제곱하면 360이 되어 원래의 √180과 같지 않습니다.

한 가지 기준으로 식을 다시 세우다

교정에서는 다른 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 피근수를 인수분해한 뒤 완전제곱인 인수만 근호 밖으로 이동한다는 행동 하나만 다시 적용했습니다. 학생은 180을 다음처럼 배열했습니다.

180 = 36×5 = 6²×5

따라서 식은

√180 = √(6²×5) = 6√5

가 됩니다. 이번에는 2를 먼저 꺼내지 않고, 36이라는 완전제곱인 인수를 찾은 뒤 그 제곱근인 6만 밖으로 옮겼습니다. 앞에서 이미 적었던 180=2×90이라는 계산을 억지로 이어 가지 않고, 최초 판단만 바로잡아 피근수의 구조를 다시 확인한 것이 핵심입니다.

학생은 자신의 공책 아래에 짧게 기준을 남겼습니다.

먼저 피근수를 완전제곱인수와 나머지 인수로 나눈다.
완전제곱인수의 제곱근만 근호 밖으로 보낸다.

표현을 바꾼 문제에서 다시 선택하기

며칠 뒤에는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 인수의 배열과 질문 방향을 바꾼 식을 제시했습니다. 다음은 √(12×75)를 가장 간단한 꼴로 나타내라는 문제였습니다. 학생은 바로 계산하지 않고 먼저 곱을 묶었습니다.

12×75 = (3×4)×(3×25) = 3²×5²×4 = 6²×25? 라고 적었다가, 이 줄은 인수 배열이 지나치게 복잡해질 수 있음을 스스로 확인하고 다시 다음과 같이 정리했습니다.

12×75 = 900 = 30²

그러므로

√(12×75) = √900 = 30

이번에는 문제에 제시된 곱셈 순서를 그대로 따라가지 않고, 피근수 전체에서 완전제곱인 부분을 찾아 밖으로 옮겼습니다. 또 다른 표현으로 √(2²×3×5²)을 간단히 하라고 했을 때에는 2²과 5²만 골라

√(2²×3×5²) = 2×5√3 = 10√3

이라고 적었습니다. 3은 제곱인수가 아니므로 근호 안에 남겨 두었습니다. 같은 세부개념 안에서 식의 모양과 질문을 바꾸었지만, 선택한 기준은 처음과 같았습니다.

힌트가 사라진 뒤의 확인

한 주 뒤 본동중3수학과외 시간에는 풀이 순서나 표시 없이 다음 문제를 주었습니다.

√(2×18×50)을 가장 간단한 꼴로 나타내고, 근호 밖으로 나온 수가 올바른지 확인하라.

학생은 먼저 피근수를 계산해 2×18×50=1800이라고 쓴 뒤, 1800=36×50=36×25×2=30²×2로 정리했습니다.

√1800 = √(30²×2) = 30√2

그다음 별도 힌트 없이 30을 다시 제곱했습니다.

30²×2 = 900×2 = 1800

“밖으로 나온 30을 제곱하고 남은 2를 곱했을 때 처음 피근수 1800이 되므로, 30은 완전제곱인수 900에서 나온 수입니다. 2는 제곱인수가 아니어서 안에 남겼습니다.”

라고 설명했습니다. 마지막에는 정답만 말하는 대신, 밖으로 이동한 수를 다시 제곱해 원래 피근수와 대조했습니다. 이제 학생은 예제의 순서를 기억해 수를 꺼내지 않고, 매번 피근수 안에서 완전제곱인 부분을 먼저 선택하고 있습니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

중등 수학

개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.

중3 점검 기준

누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.

수업 진행 예시

문장 조건을 식으로 옮기기

어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.

괄호와 부호 확인하기

2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

중등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급	방문 수업	화상 수업
중등	29~44만 원	26~40만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

수업 이용에 관한 자주 묻는 질문

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본동 중3수학과외 수업 후기

저녁을 먹고 아이 방에 들어갔다가 책상 위 기하 문제를 한참 들여다봤어요. 문제집 그림을 그대로 따라가는 대신, 필요한 조건만 골라 새 도형을 그려 옆 페이지에 옮겨 적어 놓았더라고요. 그 그림을 기준으로 풀이가 이어져 있어서 전보다 문제를 보는 방식이 달라졌다는 게 눈에 보였어요. 예전에는 다시 펼쳐도 무엇부터 확인해야 할지 정해져 있지 않아 문제와 답지를 번갈아 보곤 했거든요. 그런데 본동 수학과외를 알아보던 중인 요즘은 풀이를 시작하기 전에 조건을 추려 따로 그려 두는 모습이 보였어요. 다음 날 수학 노트를 정리할 때도 필요한 내용만 옮긴 그림을 다시 만들었고, 끝까지 해결하지 못한 부분에는 작은 표시를 남겨 두었습니다.

★★★★★수업 후기

학교에서 새 수학 문제가 나온 날, 아이가 문제를 전부 옮겨 적지 않고 노트 한쪽에 다시 볼 계산 한 줄과 그 이유만 적어두더라고요. 필요한 부분만 남긴 뒤 나머지 자료는 한쪽으로 정리해 두는 모습이 눈에 띄었어요. 문제집 한 권을 끝낸 날에도 책상은 꽤 어수선했는데, 수학 노트를 펼쳐 보니 ‘여기서부터 다시’라는 표시 아래 계산 한 줄만 남아 있었습니다. 전에는 복습할 때 아는 부분과 다시 봐야 할 부분을 구분하지 않아 페이지 전체를 다시 들여다보곤 했거든요. 이번에는 문제 전체를 베껴 두지 않고, 왜 다시 볼지까지 짧게 적어둔 게 달랐어요. 본동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 노트를 몇 번 보게 됐는데, 길게 정리한 흔적보다 다시 확인할 지점이 또렷하게 남아 있었습니다. 책상 위에 펼쳐진 건 여러 장의 풀이가 아니라, 필요한 한 줄과 그 옆의 이유였어요.

★★★★★수업 후기

책상 주변을 치우다가 접혀 있는 문제 몇 장을 발견했어요. 틀린 문제를 모아둔 줄 알았는데, 답은 맞았지만 계산을 끝까지 확인하지 않은 것들만 따로 모아 둔 거더라고요. 정답 여부만 보던 아이가 검산이 필요한 문제를 구분해 둔 게 조금 의외였어요. 예전에는 풀이 중간에 판단이 달라진 지점을 찾아도 그냥 넘어가곤 했거든요. 그런데 이번에는 답이 맞는 문제라도 확인하지 않은 부분을 따로 표시해 두고 있었습니다. 본동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 장면을 몇 번 보긴 했지만, 이번처럼 스스로 분류해 둔 건 처음이었어요. 수행평가 자료를 챙기던 날에도 문제를 한꺼번에 넣지 않고, 다시 계산해 볼 것만 골라 작은 표시를 해 두더라고요. 자료를 펼쳤을 때 어디부터 살펴볼지 바로 보이게 해 둔 모습이 인상적이었습니다.

★★★★☆수업 후기

주말마다 공부 계획을 세울 때면 틀린 문제부터 피하려던 아이가, 본동 수업을 다녀온 뒤에는 풀이 과정을 다시 말해보며 어디서 막혔는지 살펴봅니다. 선생님은 정답을 바로 알려주기보다 스스로 이어갈 시간을 주고, 숙제 확인 때도 차분히 기다려 주셨습니다. 요즘은 할 분량을 직접 정한 뒤 먼저 책상에 앉는 모습이 보여 작은 변화가 반갑습니다.

★★★★★수업 후기

시험 범위를 처음 받아든 날 아이가 막막해하며 평소처럼 공부를 미루려 했는데, 본동 수학과외 선생님은 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 부담을 줄여 주셨습니다. 어려운 문제에서 집중이 흐트러지자 같은 설명을 반복하지 않고 다른 문제로 바꾸어 다시 접근하게 하셨고, 질문도 편하게 받아 주셨습니다. 수업 전 문제를 정리하는 습관은 아직 만들어 가는 중이지만, 요즘은 수학을 시작할 때 예전만큼 힘들어하지 않습니다.

★★★★★수업 후기

시험 범위를 처음 확인한 날, 아이는 풀이가 길어지면 또 틀릴까 봐 중간에 멈추곤 했습니다. 본동에서 수업을 시작한 뒤 선생님은 숙제와 복습 때 답을 재촉하지 않고 충분히 생각하게 하며, 막힌 부분은 차분히 다시 설명해 주셨습니다. 평일 저녁에도 계획을 무리하게 바꾸지 않아 시험기간 수업을 예전처럼 부담스러워하지 않는 모습이 보였습니다.

★★★★★수업 후기