본동 중1수학과외







본동 중1수학과외에서 살펴본 최소공배수의 구성
본동과외 수업에서 학생이 가져온 문제는 24와 90의 최소공배수를 구하는 것이었다.
답보다 먼저 확인한 한 줄
학생의 공책에는 다음과 같이 적혀 있었다.
24=2×2×2×3, 90=2×3×3×5, 그러므로 공통인수 2×3을 곱해 6
그 뒤 학생은 24와 90을 모두 나누는 수를 찾았으니 최소공배수도 구했다고 설명했다. 계산 결과가 6이라는 점보다 중요한 것은, 학생이 최소공배수와 최대공약수를 구분하기 전에 공통으로 들어 있는 인수만 선택했다는 판단이었다. 오류는 곱셈을 틀린 순간이 아니라, 문제에서 요구한 ‘두 수의 배수 중 가장 작은 수’라는 조건을 확인하지 않고 공통 부분부터 고른 데서 시작되었다.
인수와 지수를 기준으로 다시 세운 풀이
이미 적어 둔 소인수분해는 그대로 활용하되, 각 소수가 몇 번씩 필요한지 세로로 표시했다.
- 24=2×2×2×3=23×3
- 90=2×3×3×5=2×32×5
이번에는 공통인수만 찾지 않고, 두 수가 각각 갖고 있는 소인수를 모두 살폈다. 2는 24에 세 개 있으므로 2를 세 번, 3은 90에 두 개 있으므로 3을 두 번, 5는 90에 한 개 있으므로 5를 한 번 사용해야 한다고 표시했다. 따라서
최소공배수=23×32×5=8×9×5=360
가 된다. 여기서 ‘최소’라는 말은 소인수를 적게 고른다는 뜻이 아니라, 두 수의 배수가 되도록 필요한 횟수만큼만 선택한다는 뜻으로 정리했다. 2를 두 번만 쓰면 24의 세 인자를 모두 만들 수 없고, 3을 한 번만 쓰면 90의 두 3을 만들 수 없다.
표현이 바뀐 문제에서 적용하기
다음 문제는 수를 바로 제시하지 않고 다음과 같은 조건표로 주어졌다.
- 첫 번째 수: 2×2×3×3
- 두 번째 수: 2×3×5×5
학생은 이번에는 계산을 시작하기 전에 소수별 개수를 표로 만들었다.
- 2: 첫 번째 수에 2개, 두 번째 수에 1개 → 2개 선택
- 3: 첫 번째 수에 2개, 두 번째 수에 1개 → 2개 선택
- 5: 첫 번째 수에 0개, 두 번째 수에 2개 → 2개 선택
그래서 최소공배수를 2×2×3×3×5×5=900으로 계산했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 지수 형태가 아닌 곱셈 형태에서 필요한 소인수의 최대 개수를 읽어 낸 것이다. 학생은 “한 수에만 있는 소인수도 두 수의 공배수를 만들려면 제외하면 안 된다”고 한 줄로 이유를 적었다.
힌트 없이 원래 조건으로 돌아간 검증
설명을 가린 뒤 학생에게 24와 90의 최소공배수를 다시 구하게 했다. 학생은 먼저 두 수를 소인수의 곱으로 나누어 적고, 2·3·5를 종류별로 세었다. 이어 2는 세 번, 3은 두 번, 5는 한 번 선택해야 한다고 말한 뒤 360을 얻었다.
검산에서는 결과를 다시 곱셈 형태로 되돌렸다.
- 360=2×2×2×3×3×5
- 360÷24=15
- 360÷90=4
두 나눗셈의 몫이 자연수가 되므로 360이 두 수의 공배수임을 확인했고, 각 소인수의 개수를 하나라도 줄이면 24 또는 90의 인수 구성을 만들 수 없다고 설명했다. 이 과정을 통해 학생은 예제의 순서를 기억한 것이 아니라, 제시 방식이 곱셈식이든 지수식이든 소인수별 필요한 개수를 비교해 최소공배수를 구성했다. 본동중1수학과외에서는 이처럼 한 번 맞힌 답보다, 원래 조건으로 되돌아가 이유와 검산까지 스스로 재현하는 장면을 중요하게 확인했다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중1 점검 기준
초등 때 배운 내용과 새 개념이 연결되는지, 교과서의 기본 문제를 혼자 설명할 수 있는지부터 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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