남동구 인천만수고등학교 수학과외
치환한 식을 원래 변수로 돌린 뒤 멈춘 풀이
인천만수고등학교 학생은 부정적분 선택지의 계산을 거꾸로 확인하면서 틀린 답이 만들어진 지점을 찾고 있었다. 치환 전 식과 맞지 않는 선택지를 먼저 지워 답의 범위는 줄였지만, 마지막에 치환된 변수를 원래 변수로 되돌린 뒤 적분을 완성하는 과정에서는 판단이 흔들렸다.
예를 들어 ∫2x cos(x²) dx에서 u=x²로 두면 적분은 ∫cos u du=sin u+C가 된다. 이때 답을 sin u+C로 남겨 두는 것이 아니라 u=x²를 다시 대입해 sin(x²)+C로 정리해야 한다. 학생은 후보를 검토하면서 이 조건에 맞는 답을 찾았지만, 그 후보가 실제로 원래 적분과 맞는지 반례를 확인하지 않은 채 정답으로 확정했다.
후보를 찾은 뒤에도 끝나지 않은 확인
교정에서는 기존처럼 선택지를 제거하는 방식만 반복하지 않고, 다른 경로로 결과를 검산하게 했다. 먼저 후보의 치환 변수를 원래 변수로 되돌린 다음, 그 결과를 미분해 처음 주어진 적분함수와 비교했다. 원시함수를 미분했을 때 치환 전의 함수가 그대로 나오지 않으면 해당 선택지는 정답이 될 수 없다는 기준을 세운 것이다.
치환적분의 답은 치환된 변수로 계산한 뒤 원래 변수로 복원하고, 미분 검산까지 통과해야 완성된다.
새 선택지가 사라진 문항에서 세운 순서
이후에는 정답 후보를 미리 좁혀 주지 않은 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 치환할 식과 미분 관계를 적고, 적분을 끝낸 뒤 원래 변수로 되돌렸다. 그다음 적분상수까지 포함한 식을 정리하고, 마지막으로 결과를 미분해 주어진 피적분함수와 일치하는지 확인하는 순서를 스스로 정했다. 앞에서 사용한 선택지 역추적에 의존하지 않고 계산과 조건 확인을 직접 연결한 점이 달라졌다.
마지막 검증에서는 특정 수치를 대입하는 대신, 치환 후 남은 변수가 답에 포함되어 있는지와 원래 변수로 복원된 식이 미분 검산을 통과하는지를 설명하게 했다. 학생은 치환 변수로 적분한 식은 중간 결과일 뿐이며, 원래 변수로 되돌린 뒤 검산해야 최종 부정적분이 된다고 정리했다.