부산 광명고등학교 수학과외







밑의 범위와 진수 조건을 따로 보지 못한 로그부등식 풀이
부산에서 광명고등학교 수학 과외를 받던 학생은 매개변수에 따라 로그부등식의 해구간이 달라지는 선택형 문제를 풀고 있었다. 여러 답 후보 옆에 작은 기호를 표시하며 조건을 하나씩 대조했지만, 계산을 끝낸 뒤 어떤 조건을 다시 확인해야 하는지는 정하지 못했다.
해를 구한 뒤 멈춘 지점
학생은 밑을 포함한 식을 정리한 다음 후보마다 맞으면 표시하는 방식으로 접근했다. 그러나 로그부등식에서는 진수의 범위뿐 아니라 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지에 따라 부등호의 방향이 달라진다. 예를 들어 log_a x > log_a 3은 a>1일 때 x>3이고, 0<a<1일 때는 0<x<3이다.
학생이 처음 막힌 부분도 바로 이 차이였다. 계산 결과를 얻고도 그 결과가 모든 매개변수에서 성립하는지, 특정한 밑의 범위에서만 가능한지 판단하지 못했다.
두 조건을 분리해 해구간을 다시 만든 과정
먼저 풀이 종이를 두 칸으로 나누어 한쪽에는 로그의 정의역, 다른 쪽에는 밑에 따른 부등호 방향을 적게 했다. 진수가 x-1이라면 우선 x>1을 확보하고, 밑이 a>1인지 0<a<1인지에 따라 비교 결과를 따로 계산했다.
a>1: 로그함수가 증가하므로 비교식의 방향을 그대로 유지한다.0<a<1: 로그함수가 감소하므로 비교식의 방향을 바꾼다.a≤0또는a=1: 로그의 밑으로 사용할 수 없어 해당 경우는 해를 구하는 대상에서 제외한다.
이렇게 나누자 학생은 같은 식을 반복 계산하지 않고, 먼저 매개변수의 허용범위를 확인한 뒤 각 해구간을 정해야 한다는 순서를 확인했다.
표현을 바꾼 문항에서 조건을 판별한 방법
이후에는 이전 식을 보여 주지 않고 log_a(2x+1) ≤ log_a 5 형태의 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 2x+1>0에서 x>-1/2를 적은 뒤, a>1이면 2x+1≤5를 적용해 -1/2<x≤2를 얻었다. 반대로 0<a<1에서는 부등호를 바꾸어 2x+1≥5, 즉 x≥2로 정리했다.
마지막으로 밑이 a=1인 경우를 일부러 포함시켰다. 학생은 계산을 억지로 이어 가지 않고 로그의 밑 조건에 맞지 않으므로 해당 경우는 적용할 수 없다고 구별했다. 해구간만 계산하는 것이 아니라 정의역, 밑의 범위, 부등호 방향을 차례로 점검해야 한다는 점이 실제 풀이에 정착된 장면이었다.