부산 부산강서고등학교 수학과외
공차의 부호를 결론까지 연결한 서술형 풀이
부산강서고등학교 학생은 등차수열의 증가·감소를 묻는 서술형 문제에서 계산을 시작하기 전에 공차의 부호를 확인해야 하는 이유를 먼저 적었다. 연속한 두 항의 차가 일정하므로 공차의 부호만으로 항이 커지는지 작아지는지를 판단할 수 있다는 설명이었다. 이 판단으로 답의 후보는 빠르게 줄였지만, 마지막 결론을 서술하는 과정에서는 근거가 한 줄 빠져 있었다.
결과는 맞았지만 중간 관계식이 빠진 답안
학생은 공차가 양수라는 사실과 등차수열이 증가한다는 결과는 적었지만, 두 항의 관계가 an+1 - an = d 로 나타난다는 연결을 쓰지 않았다. 따라서 채점 기준에서는 “공차가 양수이므로 증가한다”는 결론이 어떤 조건에서 나온 것인지 논리가 끊긴 것으로 보일 수 있었다.
풀이를 고칠 때는 답을 단순히 지우고 다시 쓰지 않았다. 예를 들어 공차가 3이면 연속한 항의 차가 항상 3이므로 an+1 = an + 3이고, 다음 항이 앞 항보다 작아질 수 없다는 반례를 직접 확인했다. 반대로 공차가 -2라면 an+1 = an - 2가 되어 항이 계속 작아진다. 이 비교를 통해 부호와 결론 사이에 반드시 연속항의 관계를 적어야 한다는 점을 정리했다.
등차수열에서는 an+1 - an = d이므로 d>0이면 증가하고, d<0이면 감소한다.
정답 후보가 없는 새 조건에서 풀이 순서를 스스로 정하다
이후에는 선택지 없이 공차가 -4이고 첫째 항이 11인 등차수열의 증가·감소를 판단하는 문제를 풀었다. 학생은 먼저 공차의 부호를 확인하고, an+1 - an = -4라는 관계를 적은 뒤 감소수열이라고 결론 내렸다. 첫째 항의 값인 11은 방향을 결정하는 조건이 아니므로 불필요한 계산도 하지 않았다.
마지막에는 결론에서 거꾸로 풀이를 설명하게 했다. “감소한다”는 판단은 연속항의 차가 -4라는 데서 나왔고, 그 값은 공차와 같으므로 공차가 음수라는 사실로 확인된다고 역순으로 정리했다. 결과만 맞힌 것이 아니라 조건, 관계식, 결론의 연결이 모두 남아 있는지 검증한 장면이었다.