가경동 중등수학과외

가경동중등수학과외, 중심각 98°에서 원주각 49°를 확인하고 다른 호 조건 구분하기

원의 성질에서는 공식을 기억하는 것보다 “어느 호를 보고 있는 각인가”를 먼저 읽는 일이 중요합니다. 기본 문제는 원 O에서 작은 호 AB에 대한 중심각 ∠AOB가 98°이고, 점 P가 그 작은 호 밖의 원 위에 있을 때 ∠APB를 구하는 상황입니다. 구하려는 것은 호 AB를 보는 원주각이며, 중심각과 원주각이 같은 작은 호 AB를 본다는 조건이 답을 결정합니다. 기본 문제의 관계를 설명할 수 있어도, 비교 문제에서 호가 달라졌다는 조건을 놓치면 49°를 모든 원주각에 그대로 적용하게 될 수 있습니다. 가경동중등수학과외에서는 이 차이를 계산 실수로만 보지 않고, 도형에서 유지되는 조건과 바뀐 조건을 분리해 확인합니다.

작은 호 AB를 보는 두 각을 같은 색으로 연결하기

먼저 원 위의 A, B를 잇는 작은 호 AB를 색칠하고, 중심 O에서 A와 B로 이어지는 두 반지름을 표시합니다. ∠AOB는 꼭짓점이 원의 중심 O에 있는 중심각이고, ∠APB는 꼭짓점 P가 원 위에 있는 원주각입니다. P는 작은 호 AB 밖에 있으므로 ∠APB의 양쪽 변 PA, PB가 바라보는 호는 작은 호 AB입니다. 따라서 두 각은 같은 호 AB를 보며, 원주각의 크기는 같은 호에 대한 중심각의 절반이 됩니다. 계산은 ∠APB=98°÷2=49°입니다. 여기서 98°를 단순히 반으로 나누는 것이 아니라, 중심각 98°와 원주각이 같은 작은 호를 본다는 표시를 근거로 나누어야 합니다. 확인할 때에는 49°×2=98°가 되어 중심각의 크기로 돌아가는지 살핍니다. 각의 단위도 길이가 아닌 도 단위이므로 답은 49°입니다.

비교 문제에서는 ‘다른 호’라는 말부터 판단하기

비교 과제의 질문은 다른 호를 보는 원주각에도 49°를 바로 쓸 수 있는가입니다. 이때 기본 문제에서 유지되는 것은 ‘원주각은 원 위의 꼭짓점에서 두 점을 잇는 각’이라는 점입니다. 달라지는 것은 그 각이 바라보는 호가 작은 호 AB인지, AB와 다른 호인지입니다. 다른 호를 본다면 그 호에 대응하는 중심각의 크기가 제시되어 있는지, 또는 호의 크기를 알 수 있는 다른 관계가 있는지를 먼저 확인해야 합니다. 현재 조건에는 다른 호의 크기나 그 호에 대한 중심각이 없으므로 각의 크기를 49°라고 확정할 수 없습니다. 같은 원 안에 있다는 사실만으로 서로 다른 호를 보는 원주각의 크기가 같아지지는 않습니다. 따라서 이 비교 과제의 결론은 ‘호의 관계를 확인하기 전에는 확정할 수 없다’입니다.

풀이 첫 줄에서 꼭짓점 위치와 호를 함께 쓰는 방법

새 조건을 적용할 때는 문제를 읽은 뒤 바로 숫자를 계산하기보다, 첫 줄에 ‘이 각의 꼭짓점은 원의 중심인가, 원 위인가’를 적고 양쪽 변이 만나는 두 점을 찾습니다. 이어서 그 두 점 사이에서 각이 바라보는 호를 색칠합니다. 원주각의 꼭짓점이 해당 작은 호 밖에 있는지도 함께 확인하면, 작은 호 AB를 보는 경우와 다른 호를 보는 경우를 섞지 않을 수 있습니다. 다음 확인에서는 기본 문제의 98°와 49°를 다시 묻는 데 그치지 않고, “두 문제에서 달라진 조건은 무엇인가?”라는 질문에 호의 차이를 말하고 표시할 수 있는지 봅니다. 그 뒤 비교 문제에서 도움 없이 첫 판단을 선택했을 때, 호의 정보가 부족하므로 값을 정할 수 없다는 근거까지 연결하는지를 확인합니다. 이 과정이 가능하면 다음 변형에서는 중심각의 수만 바꾸기보다, 바라보는 호와 꼭짓점 위치를 함께 비교하며 원의 성질을 적용할 수 있습니다.