가경동 중3수학과외

가경동 중3수학과외, 산점도에서 관계의 경계를 읽는 연습

가경동과외 수업에서 학교 프린트에 나온 산점도 한 장을 함께 살펴보았습니다. 문제는 ‘주간 운동 시간과 체력 점수의 관계를 보고, 운동이 체력 점수를 높였다고 말할 수 있는가?’였습니다.

학생이 먼저 남긴 풀이 기록

가로축은 주간 운동 시간, 세로축은 체력 점수였습니다. 학생은 점들이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가는 모양을 보고 다음과 같이 적었습니다.

“운동 시간이 많을수록 체력 점수가 높다. 따라서 운동을 하면 체력 점수가 올라간다.”

산점도의 점 12개 중 9개는 이런 흐름에 가까웠습니다. 운동 시간이 1시간인 점은 체력 점수가 42점과 48점에 있었고, 5시간인 점은 67점과 72점 부근에 있었습니다. 학생은 이 네 점을 손가락으로 짚은 뒤, 오른쪽 위로 향하는 모양을 근거로 인과관계까지 바로 결론 내렸습니다.

그러나 문제의 문장에는 중요한 조건이 있었습니다. 이 조사는 시험 직전 일주일에 측정한 자료였고, 수면 시간이 5시간 미만인 학생은 따로 표시되어 있었습니다. 그 점 세 개는 운동 시간이 4~6시간인데도 체력 점수가 45~52점에 머물렀습니다. 학생은 이 점들을 “특이한 점”이라고만 적고 전체 판단에서 제외했습니다.

모양보다 먼저 확인할 두 축

가장 먼저 어긋난 판단은 계산이 아니라, 일부 점의 모양만 보고 전체 관계를 단정한 일이었습니다. 특히 ‘운동 시간이 많다’와 ‘체력 점수가 높다’는 두 축의 의미를 확인한 뒤에도, 수면 시간이 적은 경우라는 조건이 바뀌었다는 사실을 판단에 반영하지 않았습니다.

교정은 한 가지 행동으로 제한했습니다. 학생이 산점도를 다시 보며 모든 점을 조건별로 표시하게 했습니다. 일반적인 수면 시간의 점은 ○, 수면 시간이 5시간 미만인 점은 △로 표시했습니다. 그 결과 ○ 점들에서는 운동 시간이 늘 때 체력 점수도 대체로 높아지는 흐름이 보였지만, △ 점들에서는 같은 흐름이 유지되지 않았습니다.

따라서 수정된 답은 다음과 같았습니다.

“전체 자료에서 운동 시간과 체력 점수 사이에 관련된 흐름은 보이지만, 수면 시간이 5시간 미만인 경우에는 예외가 나타난다. 그러므로 이 산점도만으로 운동이 체력 점수의 원인이라고 단정할 수 없다.”

이미 맞게 읽었던 ‘오른쪽 위로 향하는 점의 흐름’은 그대로 두고, 그것을 곧바로 인과관계라고 부른 부분만 고쳤습니다. 두 양이 함께 변하는 모습은 상관관계의 판단 근거가 될 수 있지만, 한쪽이 다른 쪽을 직접 일으켰다는 뜻까지 자동으로 포함하지는 않습니다.

표현을 바꾼 산점도 문제

다음 수업에서는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 축과 질문의 방향을 바꾼 자료를 제시했습니다. 세로축은 하루 스마트폰 사용 시간, 가로축은 수면 시간으로 두고, ‘수면 시간이 길수록 스마트폰 사용 시간이 반드시 줄어드는가?’를 물었습니다. 대부분의 점은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려갔지만, 주말에 측정한 점 네 개는 오른쪽 위에 모여 있었습니다.

학생은 이번에는 먼저 두 축의 의미를 말했습니다. “가로축은 수면 시간, 세로축은 스마트폰 사용 시간이다.” 이어 전체 점을 보며 “평일 점에서는 수면 시간이 길수록 사용 시간이 줄어드는 경향이 있지만, 주말이라는 조건에서는 반대쪽 점도 있다”고 기록했습니다. 질문이 ‘인과관계인가?’가 아니라 ‘전체 자료에서 일정한 관계가 보이는가?’였으므로, 답도 그 범위에 맞추었습니다.

• 평일 자료: 두 축 사이에 음의 방향 흐름이 보임.
• 주말 자료: 같은 흐름에서 벗어난 점이 여러 개 있음.
• 결론: 자료 전체를 하나의 관계로 단정하기보다 조건별로 나누어 판단해야 함.

힌트 없이 다시 세운 판단

마지막에는 새 산점도를 아무 설명 없이 풀었습니다. 가로축은 하루 독서 시간, 세로축은 어휘 점수였고, 도서관에서 측정한 점과 집에서 측정한 점이 색으로 구분되어 있었습니다. 학생은 먼저 “두 축의 의미와 측정 조건을 확인해야 한다”고 적은 뒤, 전체 점의 분포를 살폈습니다.

도서관 자료에서는 독서 시간이 늘수록 어휘 점수가 대체로 높아졌지만, 집에서 측정한 자료에는 독서 시간이 긴데도 점수가 낮은 경우가 두 개 있었습니다. 학생은 이를 근거로 다음과 같이 설명했습니다.

“독서 시간과 어휘 점수 사이에는 조건에 따라 함께 변하는 경향이 보인다. 하지만 일부 조건에서 흐름을 벗어난 점이 있으므로, 독서 시간이 어휘 점수를 올린다고 단정할 수 없다. 내가 말한 상관관계가 실제 전체 점의 분포와 맞는지도 조건별 점을 다시 확인했다.”

가경동중3수학과외에서는 이처럼 산점도의 겉모양을 빠르게 이름 붙이는 데서 멈추지 않고, 두 축의 의미와 전체 점의 분포, 그리고 달라지는 조건까지 확인하는 선에서 판단을 마무리합니다.