가경동 중2수학과외

경계가 바뀌면 경우의 수도 다시 세어야 합니다

가경동과외 수업에서 학생은 확률 문제의 답을 맞힌 뒤에도 풀이표를 다시 펼쳤습니다. 문제는 두 개의 주사위를 던져 나온 눈의 합이 7보다 클 확률과, 첫 번째 주사위의 눈이 두 번째보다 큰 확률을 비교하는 내용이었습니다.

“순서가 달라도 두 주사위의 눈이 같으면 같은 결과 아닌가요?”

학생은 두 주사위의 눈을 순서 없이 묶어 (1,6), (2,5), (3,4)처럼 적었습니다. 이어 합이 7보다 큰 경우를 세면서 (6,1), (5,2), (4,3)도 같은 묶음으로 처리했습니다. 전체 경우 역시 (1,1)부터 (6,6)까지 순서 없이 기록하려고 했고, 표의 빈칸에는 나중에 계산하기로 표시했습니다. 합이 7보다 큰 경우에는 합이 8, 9, 10, 11, 12인 쌍을 골라 원하는 경우를 세었지만, 두 번째 조건에서는 첫 번째 눈과 두 번째 눈의 위치를 구분하지 않았습니다.

답보다 먼저 어긋난 한 줄

풀이가 틀어지기 시작한 지점은 계산 결과가 아니라 두 주사위의 순서를 같은 것으로 취급한 판단이었습니다. 주사위를 구별하지 않으면 (1,6)과 (6,1)을 한 경우로 묶게 됩니다. 그러나 문제에서 첫 번째 주사위와 두 번째 주사위를 따로 말하고 있으므로 결과는 (첫 번째 눈, 두 번째 눈)의 순서쌍으로 기록해야 합니다. 전체 경우는 첫 번째 눈 6가지와 두 번째 눈 6가지가 만나므로 36가지입니다.

학생은 빈 표의 가로축에 첫 번째 주사위, 세로축에 두 번째 주사위를 적었습니다. 각 칸에 두 눈의 합을 써 넣고, 합이 7보다 큰 칸에는 동그라미를 표시했습니다. 이때 (2,6)과 (6,2)는 서로 다른 칸이지만 둘 다 원하는 경우라는 점을 직접 확인했습니다. 합이 7보다 큰 경우는 15가지이므로 확률은 15/36, 즉 5/12가 됩니다.

교정은 한 가지로 제한했습니다. 문제에서 순서를 구별하는 표현이 있는지 먼저 표시하고, 있으면 표의 행과 열을 나누어 모든 결과를 한 번씩 적는 것입니다. 이미 사용한 ‘원하는 경우를 전체 경우로 나눈다’는 과정은 그대로 두었습니다. 다만 ‘첫 번째가 두 번째보다 크다’는 조건에서는 대각선 칸을 제외한 아래쪽 또는 위쪽 삼각형만 표시했습니다. 두 눈이 같은 경우는 어느 쪽이 더 크다고 할 수 없기 때문입니다.

표현이 달라진 문제에서 다시 확인한 것

다음 문제는 주사위 두 개가 아니라 주머니에서 빨간 공 2개와 파란 공 1개가 든 주머니에서 공을 차례로 한 개씩 꺼내는 상황이었습니다. 첫 번째 공을 돌려놓지 않는 조건에서, 두 공의 색이 서로 다를 확률을 구해야 했습니다. 학생은 이번에는 식부터 쓰지 않고 나무그림을 그렸습니다. 첫 번째 가지를 빨강 2개와 파랑 1개로 나눈 뒤, 각 가지에서 남은 공의 수를 다시 적었습니다.

빨강 다음 파랑은 2/3×1/2, 파랑 다음 빨강은 1/3×2/2로 나타났습니다. 두 경우를 더해 서로 다른 색일 확률을 2/3로 구했습니다. 여기서는 순서가 다른 두 결과를 같은 것으로 합치지 않았지만, 질문이 ‘서로 다른 색’이므로 빨강-파랑과 파랑-빨강을 모두 원하는 경우로 포함해야 했습니다. 공을 돌려놓지 않는다는 조건도 각 가지의 두 번째 분모가 달라지는 이유로 표시했습니다.

문장을 바꾼 독립 문제에서는 “두 주사위의 눈 중 하나라도 6이면 성공”이라고 제시했습니다. 학생은 먼저 전체 36칸을 유지하고, 첫 번째 눈이 6인 6칸과 두 번째 눈이 6인 6칸을 표시했습니다. (6,6)은 두 번 표시되므로 한 번만 세어 원하는 경우를 11가지로 정리했습니다. 전체 경우와 원하는 경우가 겹치는 지점을 따로 확인한 뒤 확률을 11/36으로 썼습니다.

도움 없이 세운 최종 판단

가경동중2수학과외의 독립 확인에서 학생은 ‘두 주사위의 합이 5 이하이거나 두 눈이 같은 경우’의 확률을 풀었습니다. 학생은 첫 줄에 “주사위가 구별되어 있으므로 전체는 36가지”라고 적고, 표를 그려 합이 5 이하인 칸과 대각선 칸을 각각 다른 표시로 나누었습니다. 두 조건이 겹치는 칸은 한 번만 세어 원하는 경우를 계산했습니다.

검산할 때는 원하는 칸의 수가 36보다 크지 않은지, 대각선의 같은 눈을 빠뜨리지 않았는지, 겹친 칸을 중복해서 더하지 않았는지를 스스로 말했습니다. 특히 “순서가 있는 결과인지 먼저 확인하고, 조건이 두 개면 겹치는 경우를 한 번만 세겠다”고 설명했습니다. 처음의 오류였던 순서 무시를 새 문제에서도 스스로 차단했으며, 전체 경우 안에 원하는 경우가 모두 포함되는지도 표 전체를 훑어 확인했습니다.