서원구 중등수학과외

서원구중등수학과외, 114와 171로 묶음 수·반복 시각 구분 확인하기

114개와 171개를 남김없이 같은 구성으로 나누되 가능한 한 많은 묶음을 만드는 문제와, 두 신호가 각각 114초·171초마다 반복될 때 다시 동시에 울리는 시각을 찾는 문제는 숫자가 같습니다. 그러나 구하는 대상이 다릅니다. 전자는 두 수를 모두 나누는 가장 큰 묶음 수를 찾고, 후자는 두 주기의 공통 배수 중 가장 이른 시간을 찾습니다. 서원구중등수학과외에서는 기본 문제를 설명할 수 있는 경우에도, 비교 문제에서 바뀐 조건을 스스로 표시하고 알맞은 관계를 선택하는지에 초점을 맞춰 확인할 수 있습니다.

같은 수라도 ‘최대한 많은 묶음’이면 공약수를 찾습니다

기본 문제에서는 114개와 171개를 57묶음으로 나눌 수 있습니다. 실제로 114÷57=2, 171÷57=3이므로 한 묶음에는 첫 물건 2개와 둘째 물건 3개가 들어갑니다. 57보다 더 많은 묶음으로 나누려면 114와 171을 모두 나누는 더 큰 수가 있어야 하지만, 114=2×3×19, 171=3²×19이므로 공통으로 가진 인수는 3×19=57입니다. 따라서 최대공약수는 57이고, 답은 57묶음입니다. 여기서 2개와 3개는 전체 개수를 57로 나눈 ‘묶음 안의 개수’이며, 57은 만들 수 있는 ‘묶음 수’입니다. 두 값을 한 칸에 섞어 쓰지 않도록 ‘묶음 수 57 / 한 묶음 2개, 3개’처럼 나누어 적으면 관계가 선명해집니다. 검산도 57×2=114, 57×3=171로 원래 물건 수가 복원되는지 확인합니다.

‘다시 겹치는 때’로 바뀌면 공통 배수 중 가장 작은 시간을 찾습니다

비교 문제는 물건을 나누는 상황이 아니라 시간이 반복되는 상황입니다. 동시에 시작한 뒤 다시 겹치는 시각은 114의 배수이면서 171의 배수여야 합니다. 114의 배수는 114, 228, 342, …이고 171의 배수는 171, 342, …이므로 처음 공통으로 나타나는 수는 342입니다. 또는 114=2×3×19, 171=3²×19에서 각 인수를 가장 많이 포함하도록 2×3²×19=342를 만들 수 있습니다. 답은 342초이며, ‘처음 다시’라는 말 때문에 0초가 아니라 시작 후 가장 작은 양의 공배수를 선택합니다. 342÷114=3, 342÷171=2이므로 342초에는 첫 신호가 3번의 주기를, 둘째 신호가 2번의 주기를 정확히 마쳤다는 점으로 검산할 수 있습니다.

풀이의 첫 줄을 고르는 행동으로 새 조건 적용을 확인합니다

두 문제를 나란히 놓고 유지되는 수 114, 171에는 밑줄을 긋고, 달라진 표현인 ‘남김없이 같은 구성으로 최대한 많은 묶음’과 ‘반복되어 처음 다시 겹치는 때’에는 동그라미를 치게 합니다. 그 뒤 기본 문제에는 ‘두 수를 나누는 수’, 비교 문제에는 ‘두 수의 배수’를 첫 줄에 적습니다. 이때 “묶음 수는 각각의 물건 수를 나누어떨어지게 하나요?”와 “신호가 다시 겹치는 시각은 두 주기의 배수인가요?”라는 짧은 질문은 막힌 지점을 확인하는 데 사용할 수 있습니다. 다만 비교 문제를 독립적으로 풀 때에는 먼저 어떤 목록이나 식을 쓸지 학생이 선택하게 하고, 정답을 앞서 제시하지 않습니다.

다음 확인에서는 비교 문제에서 342초라고만 쓰는지보다, 114의 배수와 171의 배수라는 근거를 적고 342÷114=3, 342÷171=2까지 연결하는지를 봅니다. 기본 문제에서는 57묶음과 묶음마다 2개·3개를 구분해 썼는지도 함께 확인합니다. 두 상황의 차이를 말로 설명하고 비교 과제의 첫 단계를 스스로 선택한다면 다음 변형으로 넓힐 수 있으며, 어느 표현에서 멈추는지는 풀이 기록에 남겨 이후 설명의 범위를 정하는 자료로 활용할 수 있습니다.