서원구 고2수학과외







최종 답이 맞아 보여도 정의역을 먼저 확인한다
로그방정식의 계산 결과가 \(x=5,\,-1\)로 나왔다고 하자. 두 값을 원래 식에 대입하면 \(x=5\)만 가능하므로 최종 해는 \(x=5\)이다. 서원구과외에서 이 유형을 다룰 때도 계산보다 먼저 진수 조건을 확인하는 습관을 강조한다.
원래 식과 변형된 식의 차이
다음 방정식을 보자.
\[ \log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3 \]
원래 식에서는
\[ x-1>0,\qquad x-3>0 \]
이므로 정의역은 \(x>3\)이다. 로그를 합치면
\[ \log_2\{(x-1)(x-3)\}=3 \]
이고, 지수화하여
\[ (x-1)(x-3)=8 \]
\[ x^2-4x-5=0,\qquad (x-5)(x+1)=0 \]
따라서 후보는 \(x=5,-1\)이다. 그러나 원래 정의역 \(x>3\)을 적용하면 \(x=5\)만 남는다.
왜 \(x=-1\)이 생겼는가
로그를 합친 식만 따로 보면 진수 조건은
\[ (x-1)(x-3)>0 \]
이므로 \(x<1\) 또는 \(x>3\)이다. 이 조건에서는 \(x=-1\)도 허용된다. 하지만 \(x=-1\)은 원래 식에서 \(x-1\)과 \(x-3\)이 모두 음수이므로 각각의 로그가 정의되지 않는다.
두 식의 해집합 비교
| 식 | 후보 해 | 최종 해 |
|---|---|---|
| \(\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3\) | \(5,-1\) | \(5\) |
| \(\log_2((x-1)(x-3))=3\) | \(5,-1\) | \(5,-1\) |
두 식은 계산 과정에서 비슷해 보이지만 정의역이 다르다. 원래 로그 두 개를 합칠 때는 각 진수가 양수라는 조건을 끝까지 보존해야 한다.
새 문제에 적용할 판단 기준
- 원래 로그식의 각 진수를 양수로 둔다.
- 로그의 합이나 지수화를 이용해 방정식을 변형한다.
- 계산으로 얻은 후보를 원래 정의역에 대입한다.
- 원래 식에서 실제로 정의되는 값만 해로 확정한다.
따라서 이 문제의 정답은 \(\boxed{x=5}\)이다. 변형 후 넓어진 식에서 얻은 \(x=-1\)은 추가된 가짜 해이므로 제외한다.
답의 단위까지 해석해 보려면
계산값을 얻은 뒤 그것이 길이인지 비율인지 변화량인지 문장으로 써 보세요. 답의 형태가 문제에서 요구한 대상과 맞는지 확인하는 과정입니다. 단위를 가진 자료를 다루는 단원에서는 수치가 맞아도 의미를 잘못 설명한 부분이 없는지 함께 살펴보는 것이 좋습니다.
특수한 예와 일반적인 성질을 나누기
쉽게 계산되는 숫자로 확인한 결과가 모든 경우에 성립한다고 볼 수는 없습니다. 현재 단원에서 숫자 예시로 이해한 부분과 조건을 근거로 설명한 부분을 구분해 보세요. 일반적인 설명이 어려운 지점은 어떤 성질이 필요한지 수업에서 질문하는 출발점이 됩니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
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선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
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