서원구 중1수학과외

서원구 중1수학과외에서 다각형 내각의 합을 읽는 순서

서원구과외 수업에서 학생이 가져온 문제는 “어떤 다각형의 내각의 합이 540°일 때, 이 다각형의 변의 수를 구하여라”라는 유형이었다. 산남중학교, 원평중학교, 남성중학교, 세광중학교, 수곡중학교가 포함된 생활권에서 자주 접하는 기본 문제처럼 보였지만, 학생은 공식 자체보다 문제의 조건을 식으로 옮기는 단계에서 멈췄다.

답을 거꾸로 따라가며 발견한 첫 판단

학생의 공책에는 다음과 같이 적혀 있었다.

540 ÷ 180 = 3, 따라서 삼각형이다.

계산 결과만 보면 자연스러워 보였지만, 이 한 줄에서 다각형의 내각의 합 공식을 잘못 적용하기 시작했다. 내각의 합은 변의 수를 그대로 180으로 나누는 값이 아니라, 삼각형으로 나누었을 때 생기는 삼각형의 개수에 180°를 곱해 구한다. 변의 수를 n이라고 놓으면 내각의 합은 (n-2)×180°이다. 학생은 변의 수와 삼각형의 개수를 같은 것으로 보았다.

이때 풀이 전체를 지우지 않고, 이미 확인한 540°라는 조건은 그대로 두었다. 대신 문제 옆에 “변의 수 n, 삼각형 개수 n-2”라고 적게 했다. 이어서

(n-2)×180 = 540

라고 조건을 식으로 바꾸고, 양변을 180으로 나누어 n-2=3, n=5를 얻었다. 구한 값이 오각형에 해당하는지 확인하기 위해 오각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형 세 개로 나누었다. 따라서 내각의 합은 180°×3=540°가 되어 조건과 맞았다.

그림의 방향을 바꾸어도 같은 관계를 찾기

다음 활동에서는 숫자를 바꾸지 않고 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 오각형 그림을 보여 주되 한 꼭짓점에서 그은 선을 가리고, “이 도형의 내각을 모두 더하면 몇 도인가?”라고 물었다. 학생은 그림의 방향이 달라졌다는 이유로 각을 하나씩 재려고 하지 않고, 꼭짓점 하나를 정한 뒤 그 점에서 다른 꼭짓점으로 선을 그었다.

학생은 “오각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 두 개 그을 수 있고, 삼각형 세 개가 만들어진다”고 말한 다음, 180°+180°+180°를 적었다. 이어서 540°라고 답했다. 여기서 중요한 점은 앞 문제처럼 내각의 합을 알고 변의 수를 찾는 방향이 아니라, 변의 수를 보고 내각의 합을 찾는 방향으로 질문이 바뀌었다는 것이다. 공식의 양변을 무조건 나누는 대신, 주어진 조건이 무엇인지 먼저 구분했다.

도형을 회전시킨 그림에서도 학생은 위쪽 꼭짓점이나 아래쪽 꼭짓점에 특별한 의미를 부여하지 않았다. 어느 꼭짓점에서 시작하든 삼각형의 개수는 변의 수에서 2를 뺀 값이라는 점을 표시하고, 오각형이면 3개라는 관계를 다시 확인했다.

조건이 문장 속에 섞였을 때의 재현

마지막 문제는 표 없이 문장으로 제시했다.

한 다각형의 내각의 합은 900°이다. 이 도형은 몇 각형인가?

이번에는 별도의 힌트를 주지 않았다. 학생은 먼저 “구해야 하는 것은 변의 수”라고 적고 n을 사용했다. 그 뒤 “삼각형으로 나뉘는 수는 n-2”라고 이유를 붙여

(n-2)×180 = 900

을 세웠다. 900을 180으로 나누어 n-2=5, 따라서 n=7이라고 계산했다. 단순히 칠각형이라고 끝내지 않고, 칠각형을 한 꼭짓점에서 나누면 삼각형이 5개 생기므로 내각의 합이 5×180°=900°라고 원래 조건에 대입해 검산했다.

또 “내각의 합이 180°인 다각형”이라는 경계 조건도 확인했다. n=3일 때 (3-2)×180°=180°이므로 삼각형부터 공식이 시작된다는 설명이었다. 반대로 n=2는 다각형이 아니므로 답으로 선택할 수 없다고 덧붙였다.

서원구중1수학과외에서는 공식을 외웠는지만 확인하지 않고, 학생이 문제의 질문 방향을 읽고 변의 수와 삼각형의 개수를 구별하는지 살핀다. 이 학생은 처음의 “540÷180=3”이라는 판단에서 출발했지만, 이제는 주어진 값과 구할 값을 분리하고, 식을 세운 이유와 원래 조건에 다시 넣는 근거까지 혼자 설명하며 다각형 내각의 합을 재현했다.