서원구 중3수학과외

서원구 중3수학과외, 산점도에서 퍼짐을 먼저 읽는 연습

산남중학교, 원평중학교, 남성중학교, 세광중학교, 수곡중학교가 포함된 서원구 생활권에서 산점도 문제를 풀이하다 보면 점의 개수나 눈에 띄는 몇 점에 먼저 시선이 가기 쉽습니다. 이번 수업에서는 다른 개념으로 넓히지 않고, 산점도에서 점들이 전체적으로 얼마나 퍼져 있는지 비교하는 기준 하나만 다루었습니다. 서원구중3수학과외에서도 이처럼 계산보다 먼저 그림의 조건을 선별하는 풀이 기록을 중요하게 봅니다.

가까운 점 세 개가 전체를 대신한 순간

문제에는 두 산점도 A와 B가 제시되어 있었습니다. A는 점 10개가 오른쪽 위로 갈수록 조금씩 올라가지만, 가운데에서 위아래로 벌어진 점도 있었습니다. B는 점 10개 중 왼쪽의 세 점이 서로 가깝고 오른쪽에도 두 점이 붙어 있었지만, 가운데와 위쪽에 떨어진 점들이 섞여 있었습니다. 질문은 “두 산점도 중 점들이 더 모여 있는 것은 어느 것인가?”였습니다.

학생은 오답노트에 다음과 같이 적었습니다.

“A는 가까이 붙은 점이 두 군데뿐이고, B는 왼쪽 세 점이 거의 붙어 있으므로 B가 더 모여 있다.”

풀이를 말로 설명할 때도 “왼쪽 아래의 세 점이 한 덩어리처럼 보인다”고 했습니다. 즉, 두 그림의 점 개수는 확인했고 눈에 보이는 묶음도 표시했지만, 전체 점의 위치를 한꺼번에 비교하지 않은 채 판단했습니다. 아직 계산할 수 있는 수치가 제시된 문제가 아니므로, 이 단계에서 필요한 것은 계산이 아니라 어느 그림의 점들이 전체적으로 덜 흩어졌는지 살피는 일이었습니다.

판단이 틀어진 최초의 기준

가장 먼저 어긋난 곳은 답을 고른 순간이었습니다. 학생은 몇 개의 가까운 점을 산점도 전체의 퍼짐 정도로 바꾸어 판단했습니다. 이것은 마지막에 답을 잘못 옮긴 실수가 아니라, 비교 대상의 범위를 좁혀 버린 최초의 판단입니다. 가까운 점이 일부 있다는 사실만으로 전체 점이 모여 있다고 말할 수는 없습니다.

수업에서는 이미 맞게 한 점 개수 확인과 그림 표시를 그대로 두고, 한 행동만 바꾸었습니다. 각 점을 따로 묶어 고르는 대신 두 산점도를 멀리서 보며 “전체 점이 어느 정도의 띠 안에 모여 있는가”를 먼저 비교하도록 했습니다. A에서는 대부분의 점이 비슷한 폭의 영역 안에 있었고, B에서는 가까운 세 점이 있어도 나머지 점들이 위아래로 더 넓게 벌어져 있었습니다. 따라서 전체 퍼짐이 더 작은 A를 선택해야 했습니다.

학생의 기록도 다음처럼 고쳐졌습니다.

“일부 점의 근접 여부가 아니라, 모든 점을 포함한 분포의 폭을 비교한다. A가 B보다 전체적으로 덜 흩어져 있으므로 A이다.”

기존에 표시한 점 개수와 답을 찾기 위해 그림을 두 번 읽은 과정은 유지했습니다. 달라진 것은 일부의 가까움이 아니라 전체 분포를 기준으로 삼은 한 가지뿐입니다. 서원구과외 수업에서도 이처럼 오류가 시작된 지점을 좁혀 고칩니다.

표현이 달라진 새 산점도

다음 문제에서는 점을 직접 찍은 그림 대신, 두 산점도의 모양을 문장으로 나타낸 자료를 사용했습니다. 산점도 C는 왼쪽에서 오른쪽까지 점들이 가로로 넓게 놓여 있지만, 각 점이 일정한 폭의 좁은 띠 안에 들어 있었습니다. 산점도 D는 점들이 가운데 부분에 많이 모여 있었으나, 위쪽과 아래쪽으로 멀리 떨어진 점이 여러 개 있었습니다. 질문은 “전체 점의 퍼짐이 더 작은 자료를 고르라”는 것이었습니다.

학생은 이번에는 먼저 C와 D의 모든 점을 눈으로 따라가며, 각 그림에서 가장 위와 가장 아래에 있는 점까지 포함해 표시했습니다. C는 가로 위치가 달라도 세로 방향의 벌어짐이 일정했고, D는 가운데의 점만 보면 조밀하지만 전체 범위가 더 넓었습니다. 학생은 “가운데에 모인 점의 수가 아니라, 그림 전체에서 점들이 차지하는 퍼진 정도를 봐야 한다”고 설명하며 C를 골랐습니다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 점이 놓인 방향과 자료를 제시한 방식이 달라져도 같은 기준을 적용한 것입니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

마지막에는 별도의 표시나 질문 순서 없이 새 그림을 제시했습니다. 산점도 E에는 점 12개가 비교적 좁은 띠에 놓였고, 산점도 F에는 점 12개 중 8개가 E와 비슷하게 모였지만 나머지 4개가 멀리 떨어져 있었습니다. 학생은 먼저 두 그림의 점 개수를 확인한 뒤, 일부 묶음이 아니라 전체 점의 퍼짐을 비교했습니다.

그다음 E와 F에서 멀리 떨어진 점 두 개씩을 가려 보았습니다. 가린 뒤에도 E가 더 좁게 모여 있다는 판단은 그대로였고, F는 가려진 점을 포함하면 전체 분포가 더 넓어진다는 점을 말했습니다.

“가까운 점 몇 개가 있는지는 결정적인 근거가 아니다. 모든 점을 포함해 어느 산점도가 더 좁은 분포를 보이는지 비교하고, 일부 점을 제외해도 판단이 유지되는지 확인했다.”

힌트 없는 문제에서도 학생은 같은 기준을 스스로 선택했고, 답뿐 아니라 전체 점을 근거로 삼은 이유와 일부 점을 제외한 검산 근거까지 설명했습니다.