동남구 중등수학과외

동남구중등수학과외, 산점도 마지막 점을 바꿔 전체 증가 경향 확인하기

산점도에서는 몇 개의 점이 비슷하게 움직인다는 사실과 자료 전체가 보이는 경향을 구분해야 합니다. 예를 들어 자료쌍 (1,18), (2,19), (3,20), (4,21)을 좌표평면에 나타내면 x가 1씩 커질 때 y도 18, 19, 20, 21로 1씩 커집니다. 네 점 모두 오른쪽 위 방향으로 놓이므로 양의 상관관계가 있다고 설명할 수 있습니다. 다만 이 자료만 보고 x가 y의 원인이라고 결론내릴 수는 없습니다. 함께 변하는 모습은 관찰할 수 있지만, 원인과 결과를 판단하려면 다른 정보가 필요하기 때문입니다.

네 점의 위치를 먼저 읽어 양의 상관관계 설명하기

기본 과제에서는 좌표를 하나씩 표시한 뒤, 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 점의 높이가 어떻게 달라지는지 확인합니다. x=1일 때 y=18, x=2일 때 y=19, x=3일 때 y=20, x=4일 때 y=21이므로 x의 증가량은 +1, y의 증가량도 계속 +1입니다. 점들을 잇는 선을 실제 관계식으로 단정할 필요는 없지만, 경향선은 오른쪽 위로 향하게 그릴 수 있습니다. 이때 중요한 답은 ‘양의 상관관계’이며, ‘두 값이 함께 늘었으니 하나가 다른 하나를 만들었다’는 말은 답의 근거가 아닙니다. 동남구중등수학과외 수업에서도 관계를 읽는 문장과 원인을 추정하는 문장을 따로 적어 보게 하면 두 판단이 섞이는지 살필 수 있습니다.

마지막 점 (4,17)이 바꾸는 전체 그림

비교 과제에서는 앞의 세 점 (1,18), (2,19), (3,20)은 유지하지만 마지막 점이 (4,21)에서 (4,17)로 바뀝니다. 따라서 x=3에서 x=4로 갈 때 y는 20에서 17로 3만큼 감소합니다. 앞의 세 점만 보면 y가 18, 19, 20으로 증가하지만, 모든 점을 포함하면 y의 값은 18→19→20→17이 됩니다. 계속 증가한다는 조건은 마지막에서 성립하지 않으므로 단조 증가는 깨집니다. 산점도에 경향선을 그리더라도 마지막 점을 예외처럼 따로 동그라미 표시하고, ‘앞부분의 증가’와 ‘전체가 계속 증가’라는 표현을 구별해야 합니다. 일부 점만 근거로 완전한 증가 관계라고 단정하지 않는 것이 이 과제의 핵심입니다.

도움 없이 새 조건을 적용했는지 확인하는 방법

처음에는 두 과제의 좌표를 나란히 쓰고 달라진 수 21과 17에 밑줄을 긋게 합니다. 이어 “마지막 점까지 포함하면 계속 증가하나요?”라고 짧게 묻고, 학생이 x=4에서 y가 17이라는 점을 근거로 판단을 고치도록 합니다. 비교 과제에서는 이 표시와 첫 판단을 학생이 먼저 선택한 뒤, 멈춘 곳에서만 질문을 더하는 순서가 적절합니다. 다음 확인에서는 마지막 점을 바꾼 산점도에서 모든 y값의 순서를 직접 읽고, 단조 증가가 깨진 이유를 말할 수 있는지 봅니다. 또한 ‘함께 변하는 자료만으로 원인을 확정할 수 있는가’라는 질문에 아니라고 답하면서 관찰한 관계와 원인 추정을 구분한다면, 새 조건을 단순 암기가 아니라 근거에 따라 적용하는지 더 구체적으로 확인할 수 있습니다.

단조 증가는 x가 커질 때 y가 한 번도 작아지지 않는지 보는 기준이고, 양의 상관관계는 점들의 전체적인 경향을 보는 기준입니다. 일부 구간에서 y가 감소했다는 사실만으로 양의 상관관계가 없다고 결론 내리지는 않습니다.