동남구 고2수학과외
“F(b)=f(b)이므로 그래프에서 b에서의 함수값을 읽으면 된다.”
이 문장은 정적분으로 정의된 함수 문제에서 자주 발견되는 오류다. 실제로 F(b)는 한 점에서의 높이가 아니라, 구간 전체에 걸쳐 쌓인 누적값이다. 이런 구분은 동남구과외 수업에서도 풀이 첫 줄부터 확인해야 하는 핵심 판단이다.
점값과 누적값은 무엇이 다른가
함수 f가 주어지고
F(x)=∫axf(t)dt
로 정의되었다면,
- f(b): x=b에서의 함수값, 즉 그래프의 한 점의 높이
- F(b): a부터 b까지 f(t)를 누적한 정적분값, 즉 부호를 고려한 넓이
이다. 따라서 일반적으로 F(b)와 f(b)는 서로 다르다.
미분했을 때만 f가 나타난다
미적분의 기본정리에 따라
F′(x)=f(x)
가 성립한다. 여기서 f(x)는 F(x)를 미분한 결과이지, F(x) 자체와 같은 값이라는 뜻이 아니다.
넓이 정보로 F값 계산하기
예를 들어 F(x)=∫0xf(t)dt이고, 그래프에서 다음과 같은 넓이가 주어졌다고 하자.
- 0≤x≤2에서 그래프가 x축 위에 있으며 넓이가 3
- 2≤x≤5에서 그래프가 x축 아래에 있으며 넓이의 크기가 4
그러면
F(2)=∫02f(t)dt=3
이다. 또한 x=5까지는 아래쪽 넓이가 누적되므로
F(5)=∫05f(t)dt=3−4=−1
이 된다. 아래쪽 영역은 음의 정적분으로 계산해야 한다.
풀이 기록에서 오류 찾기
다음 풀이를 보자.
F(5)=f(5)=−1
결과가 우연히 −1로 같더라도 등식의 이유는 잘못되었다. 올바른 설명은 다음과 같다.
F(5)=∫05f(t)dt=3−4=−1
f(5)는 x=5에서의 그래프 높이이고, F(5)는 0부터 5까지의 누적된 signed area이다. 두 값이 우연히 같을 수는 있지만, 정의상 같은 대상은 아니다.
최종 점검 기준
문제를 풀기 전에는 아래 순서로 확인하면 된다.
- F가 어떤 적분으로 정의되었는지 확인한다.
- 구하려는 값이 점에서의 f값인지, 구간의 누적값인 F값인지 구분한다.
- 그래프의 위쪽 넓이는 양수, 아래쪽 넓이는 음수로 반영한다.
- F′(x)=f(x)와 F(x)=f(x)를 혼동하지 않는다.
정적분 문제에서 계산보다 먼저 해야 할 일은 기호의 역할을 분리하는 것이다. 이 기준이 잡히면 그래프의 넓이 정보가 여러 구간으로 나뉘어도 F(x)의 값을 안정적으로 계산할 수 있다.