동남구 중3수학과외

동남구 중3수학과외에서 확인한 접선과 현의 각

청수지구와 신방지구가 이어지는 생활권에서 중3수학과외를 진행하며 학교 프린트의 원 문제를 살펴보았습니다. 천안용곡중학교가 포함된 생활권의 자료였지만, 특정 학교의 시험 경향보다 한 가지 판단 기준에 집중했습니다. 이번 주제는 접선과 현이 이루는 각과 그 각이 바라보는 호에 대응하는 원주각의 관계입니다.

학생의 풀이 기록에서 멈춘 지점

다음과 같은 문제가 나왔습니다.

원에서 점 A에서 그은 직선 l이 접선이고, AB는 현이다. 접선 l과 현 AB가 이루는 각이 52°일 때, 호 AB를 바라보는 원주각 ∠ACB의 크기를 구하여라.

학생은 그림에서 접점 A와 현 AB를 표시한 뒤 다음처럼 적었습니다.

접선과 현이 이루는 각 = 원주각
∠ACB = 52°

이 문제의 답은 52°이므로 계산 결과만 보면 맞았습니다. 그러나 바로 이어진 변형 문제에서 같은 방식으로 성질을 적용하다가 오답이 나왔습니다. 두 번째 그림에서는 점 D가 호 AB 위에 있었고, 구하는 각은 ∠ADB였습니다. 학생은 역시 접선과 현의 각을 52°라고 보고 ∠ADB도 52°라고 썼습니다.

처음 바뀐 것은 숫자가 아니라 호의 위치였다

가장 먼저 어긋난 판단은 각의 크기를 비교하기 전에 어느 호를 바라보는 원주각인지 확인하지 않은 것입니다. 접선과 현 AB가 이루는 52°는 현 AB와 접점 A에서 만나는 접선이 만드는 각입니다. 이 각에 대응하는 원주각은 점 C가 호 AB의 반대쪽에 있어, 호 AB를 바라보는 ∠ACB입니다.

반면 D가 호 AB 위에 있으면 ∠ADB는 D를 포함하지 않는 다른 쪽의 큰 호 AB를 바라봅니다. 작은 호 AB의 크기를 104°로 보면 큰 호 AB는 360°−104°=256°입니다. 따라서

∠ADB = 256°÷2 = 128°

이 됩니다. 그러므로 “접선과 현의 각은 아무 원주각과 같다”라고 말하면 안 됩니다. 접선과 현, 접점, 그리고 원주각이 바라보는 호가 서로 맞을 때만 같은 크기로 판단해야 합니다.

한 표시만 바꾸어 다시 푼 과정

풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 학생이 처음 해야 할 표시 하나만 바꾸었습니다. 접점 A에 점을 찍고 현 AB를 진하게 한 뒤, 구하는 원주각의 두 변이 지나가는 끝점 A와 B를 연결했습니다. 이어서 원주각의 꼭짓점이 호 AB 위에 있는지, 반대쪽에 있는지를 표시했습니다.

• ∠ACB: C가 호 AB 위에 있지 않음 → ∠ACB가 바라보는 호는 작은 호 AB
• ∠ADB: D가 호 AB 위에 있음 → ∠ADB가 바라보는 호는 큰 호 AB

첫 번째 문제에서는 접선과 현의 각 52°에 대응하는 ∠ACB를 선택했으므로 그대로 52°입니다. 두 번째 문제에서는 같은 52°를 곧바로 옮기지 않고, 먼저 작은 호 AB가 104°임을 확인한 뒤 큰 호를 사용하여 128°를 얻었습니다. 바뀐 것은 계산법이 아니라 관련된 호를 먼저 표시하는 행동 하나였습니다.

그림을 돌려도 기준이 유지되는지

며칠 뒤에는 그림의 모양을 바꾸었습니다. 원 위의 점을 P, Q, R로 바꾸고, P에서 그은 접선과 현 PQ가 이루는 각을 38°로 제시했습니다. 이번에는 R을 작은 호 PQ의 반대편에 두고 ∠PRQ를 물었습니다. 학생은 먼저 P를 접점, PQ를 현으로 표시하고, R이 호 PQ에 포함되지 않는 위치임을 확인했습니다.

따라서 ∠PRQ가 바라보는 호 PQ는 접선과 현이 만든 각에 대응하는 호입니다.

∠PRQ = 38°

이번에는 그림을 오른쪽으로 돌리고 접선의 방향을 반대로 그렸지만, 접점과 현의 끝점은 달라지지 않았습니다. 또 질문을 “접선과 현이 이루는 각”이 아니라 “∠PRQ의 크기”로 바꾸었어도, 두 각이 같은 호 PQ를 바라보는지 확인한 뒤 결론을 냈습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 문제

마지막에는 다음 문제만 제시하고 표시나 질문을 덧붙이지 않았습니다.

원에서 점 X에서의 접선과 현 XY가 이루는 각은 47°이다. 점 Z는 호 XY 위에 있지 않으며, ∠XZY를 구하여라.

학생은 먼저 X가 접점이고 XY가 현이라고 설명했습니다. 이어 “Z가 호 XY 위에 있지 않으므로 ∠XZY는 접선과 현의 각에 대응하는 같은 호 XY를 본다”고 말했습니다.

∠XZY = 47°

검산할 때도 단순히 답을 반복하지 않고, “만약 Z가 호 XY 위에 있었다면 반대쪽 큰 호를 바라보므로 같은 47°라고 할 수 없다”고 덧붙였습니다. 접선과 현의 각을 원주각과 비교할 때 접점·현의 양 끝점·원주각이 바라보는 호를 먼저 대조하는 경계가 스스로 유지된 장면입니다. 이는 동남구과외와 동남구중3수학과외에서 같은 유형을 만났을 때도 적용할 수 있는 기준입니다.