동남구 중3수학과외

동남구 중3수학과외에서 확인한 접선과 현의 각

청수지구와 신방지구가 이어지는 생활권에서 중3수학과외를 진행하며 학교 프린트의 원 문제를 살펴보았습니다. 천안용곡중학교가 포함된 생활권의 자료였지만, 특정 학교의 시험 경향보다 한 가지 판단 기준에 집중했습니다. 이번 주제는 접선과 현이 이루는 각과 그 각이 바라보는 호에 대응하는 원주각의 관계입니다.

학생의 풀이 기록에서 멈춘 지점

다음과 같은 문제가 나왔습니다.

원에서 점 A에서 그은 직선 l이 접선이고, AB는 현이다. 접선 l과 현 AB가 이루는 각이 52°일 때, 호 AB를 바라보는 원주각 ∠ACB의 크기를 구하여라.

학생은 그림에서 접점 A와 현 AB를 표시한 뒤 다음처럼 적었습니다.

접선과 현이 이루는 각 = 원주각
∠ACB = 52°

이 문제의 답은 52°이므로 계산 결과만 보면 맞았습니다. 그러나 바로 이어진 변형 문제에서 같은 방식으로 성질을 적용하다가 오답이 나왔습니다. 두 번째 그림에서는 점 D가 호 AB 위에 있었고, 구하는 각은 ∠ADB였습니다. 학생은 역시 접선과 현의 각을 52°라고 보고 ∠ADB도 52°라고 썼습니다.

처음 바뀐 것은 숫자가 아니라 호의 위치였다

가장 먼저 어긋난 판단은 각의 크기를 비교하기 전에 어느 호를 바라보는 원주각인지 확인하지 않은 것입니다. 접선과 현 AB가 이루는 52°는 현 AB와 접점 A에서 만나는 접선이 만드는 각입니다. 이 각에 대응하는 원주각은 점 C가 호 AB의 반대쪽에 있어, 호 AB를 바라보는 ∠ACB입니다.

반면 D가 호 AB 위에 있으면 ∠ADB는 D를 포함하지 않는 다른 쪽의 큰 호 AB를 바라봅니다. 작은 호 AB의 크기를 104°로 보면 큰 호 AB는 360°−104°=256°입니다. 따라서

∠ADB = 256°÷2 = 128°

이 됩니다. 그러므로 “접선과 현의 각은 아무 원주각과 같다”라고 말하면 안 됩니다. 접선과 현, 접점, 그리고 원주각이 바라보는 호가 서로 맞을 때만 같은 크기로 판단해야 합니다.

한 표시만 바꾸어 다시 푼 과정

풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 학생이 처음 해야 할 표시 하나만 바꾸었습니다. 접점 A에 점을 찍고 현 AB를 진하게 한 뒤, 구하는 원주각의 두 변이 지나가는 끝점 A와 B를 연결했습니다. 이어서 원주각의 꼭짓점이 호 AB 위에 있는지, 반대쪽에 있는지를 표시했습니다.

∠ACB: C가 호 AB 위에 있지 않음 → ∠ACB가 바라보는 호는 작은 호 AB
∠ADB: D가 호 AB 위에 있음 → ∠ADB가 바라보는 호는 큰 호 AB

첫 번째 문제에서는 접선과 현의 각 52°에 대응하는 ∠ACB를 선택했으므로 그대로 52°입니다. 두 번째 문제에서는 같은 52°를 곧바로 옮기지 않고, 먼저 작은 호 AB가 104°임을 확인한 뒤 큰 호를 사용하여 128°를 얻었습니다. 바뀐 것은 계산법이 아니라 관련된 호를 먼저 표시하는 행동 하나였습니다.

그림을 돌려도 기준이 유지되는지

며칠 뒤에는 그림의 모양을 바꾸었습니다. 원 위의 점을 P, Q, R로 바꾸고, P에서 그은 접선과 현 PQ가 이루는 각을 38°로 제시했습니다. 이번에는 R을 작은 호 PQ의 반대편에 두고 ∠PRQ를 물었습니다. 학생은 먼저 P를 접점, PQ를 현으로 표시하고, R이 호 PQ에 포함되지 않는 위치임을 확인했습니다.

따라서 ∠PRQ가 바라보는 호 PQ는 접선과 현이 만든 각에 대응하는 호입니다.

∠PRQ = 38°

이번에는 그림을 오른쪽으로 돌리고 접선의 방향을 반대로 그렸지만, 접점과 현의 끝점은 달라지지 않았습니다. 또 질문을 “접선과 현이 이루는 각”이 아니라 “∠PRQ의 크기”로 바꾸었어도, 두 각이 같은 호 PQ를 바라보는지 확인한 뒤 결론을 냈습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 문제

마지막에는 다음 문제만 제시하고 표시나 질문을 덧붙이지 않았습니다.

원에서 점 X에서의 접선과 현 XY가 이루는 각은 47°이다. 점 Z는 호 XY 위에 있지 않으며, ∠XZY를 구하여라.

학생은 먼저 X가 접점이고 XY가 현이라고 설명했습니다. 이어 “Z가 호 XY 위에 있지 않으므로 ∠XZY는 접선과 현의 각에 대응하는 같은 호 XY를 본다”고 말했습니다.

∠XZY = 47°

검산할 때도 단순히 답을 반복하지 않고, “만약 Z가 호 XY 위에 있었다면 반대쪽 큰 호를 바라보므로 같은 47°라고 할 수 없다”고 덧붙였습니다. 접선과 현의 각을 원주각과 비교할 때 접점·현의 양 끝점·원주각이 바라보는 호를 먼저 대조하는 경계가 스스로 유지된 장면입니다. 이는 동남구과외와 동남구중3수학과외에서 같은 유형을 만났을 때도 적용할 수 있는 기준입니다.

동남구 중3수학과외 학부모 후기

새 모의고사 문제를 읽던 오후에는 계산부터 하지 않고 조건 문장에 먼저 동그라미를 치더라고요. 나중에 다시 펼쳤을 때 어디서 이어서 봐야 할지 알 수 있게 표시도 남겨두고요. 예예전에는 답을 적고 나면 자기 풀이보다 정답이나 해설지를 먼저 찾는 일이 잦았거든요. 동남구 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 새 단원 진도를 처음 나가던 주에 집에서 시험지를 펼친 모습도 눈에 띄었어요. 문제 전체에 이것저것 표시한 게 아니라 조건에만 동그라미가 있었고, 그 부분을 다시 읽은 다음 풀이를 처음부터 이어가고 있었습니다. 답지를 옆에 두고도 바로 확인하지 않은 채 조건부터 짚는 모습이 전과 달랐어요.

★★★★★학부모 후기

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동남구에서 수학 과외를 시작한 뒤에도 아이는 숙제를 미루고 새 진도만 서두르는 편이었습니다. 선생님은 컨디션이 좋지 않은 날에는 문제 수를 줄이고 핵심만 복습하게 했고, 시험기간에도 무리하게 진도를 나가지 않도록 조절해 주셨습니다. 답지를 덮고 혼자 다시 풀어보던 아이가 이제는 막히면 선생님께 편하게 설명을 부탁하는 모습이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

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시험을 치른 다음 날에도 아이는 예전처럼 공부량을 갑자기 늘리기보다 동남구 수학 선생님과 정한 일정에 맞춰 저녁 공부를 시작했습니다. 옆에서 보니 부담스러워하던 순간에도 선생님은 막힌 문제를 서둘러 넘기지 않고 다시 설명한 뒤, 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나누어 주셨습니다. 틀린 문제를 다시 펼치는 모습이 자연스러워진 점이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기