동남구 중2수학과외
동남구 중2수학과외에서 살펴본 삼각형 외각의 경계
청수지구와 신방지구가 이어지는 생활권에는 천안용곡중학교, 천안신방중학교 등이 포함되어 있다. 이 생활권의 중2수학과외 수업에서 학생은 삼각형의 외각과 두 내각의 관계를 다룬 보기 문제를 풀었다. 단순히 공식을 적용하는 문제가 아니라, 어느 각이 외각인지와 어떤 조건이 실제로 주어졌는지를 구별해야 하는 문제였다.
학생의 첫 풀이에서 드러난 한 줄
학생은 삼각형 ABC에서 변 BC를 연장해 만든 외각을 표시하고, 맞은편 두 내각을 찾아 합을 계산했다. 그림 옆에는 외각 = 두 내각의 합이라고 적었다. 이어서 각의 크기를 대입해 식을 세웠지만, 보기의 다음 그림에서는 연장된 변의 위치가 달라지고 각의 표시도 달라져 있었다.
학생은 그림에 표시된 각을 하나씩 읽기보다, 앞 문제에서 보았던 도형의 모양을 기준으로 결론을 옮겼다. 특히 삼각형에 별도의 조건이 없는데도 다른 도형에서 보았던 성질을 거꾸로 적용해, 표시된 두 각이 서로 같은 관계라고 판단했다. 이 선택 뒤에 계산을 이어 가면서 외각의 크기와 두 내각의 합이 맞지 않게 되었다.
“계산에서 틀린 것이 아니라, 이 각이 정말 외각인지 확인하기 전에 성질을 정한 것이 문제였어요.”
외각을 정하는 기준부터 다시 세우기
교정에서는 이미 맞게 한 계산 과정을 모두 지우지 않았다. 먼저 삼각형의 한 변을 한쪽으로 연장한 선과, 그 연장선에 붙어 생긴 각만 외각으로 표시했다. 그다음 외각과 맞닿지 않은 두 내각에 동그라미를 붙였다. 이 두 내각의 합이 외각과 같다는 관계를 사용하되, 그림에 단순히 각이 그려져 있다는 이유만으로 외각이라고 부르지 않도록 했다.
학생은 같은 그림에서 연장된 선을 손가락으로 짚고 말했다. “이 선이 삼각형의 변을 이어서 만든 직선이고, 그 옆에 붙은 각이 외각이에요. 따라서 나머지 두 내각을 더해야 해요.” 이후 각의 크기를 다시 대입하고, 계산한 합을 외각의 표시와 비교했다. 처음 잘못 사용했던 다른 도형의 성질은 풀이에서 제외했다.
표현이 바뀐 문제에서 경계를 찾다
다음 문제는 그림 대신 문장과 표로 제시되었다. 삼각형 PQR에서 QR을 R의 바깥쪽으로 연장했을 때 생기는 각의 크기를 표의 빈칸에 쓰고, 이어서 “외각이 두 내각 중 하나보다 큰 이유”를 설명하는 형식이었다. 숫자를 그대로 바꾼 문제가 아니어서 학생은 먼저 문장에서 연장된 변과 그 옆의 각을 따로 표시했다.
- QR을 연장한 선과 RP가 만드는 각을 외각으로 표시한다.
- 그 외각과 맞닿지 않은 P각과 Q각을 찾아 합으로 묶는다.
- 표의 순서가 Q각, 외각, P각으로 섞여 있어도 각의 위치를 기준으로 대응시킨다.
- “두 내각의 합을 구하라”는 질문과 “외각을 구하라”는 질문을 같은 관계로 연결한다.
이번에는 부호나 숫자보다 조건의 위치가 달라진 점이 핵심이었다. 학생은 표에 적힌 각의 이름만 보고 판단하지 않고, 문장을 그림으로 다시 옮겨 외각을 확인했다. 또 한 내각이 다른 내각보다 크다는 정보가 있어도, 외각 관계 자체가 바뀌는 것은 아니라는 점을 구분했다.
힌트 없이 이어진 최종 검증
수업 후반에는 새로운 문제가 제시되었다. 삼각형 XYZ에서 YZ를 Z의 바깥쪽으로 연장하고, 연장선과 ZX가 이루는 각이 외각이라고 문장으로만 주어졌다. 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 “Z에서 변을 연장했으므로 그 옆에 생긴 각이 외각이고, 맞은편 X각과 Y각을 더한다”고 적었다.
학생은 두 내각의 합으로 외각을 계산한 뒤, 외각과 한 내각이 일직선 위의 붙은 각이라는 점을 이용해 다시 확인했다. 계산한 외각과 남은 각을 더해 일직선의 각이 되는지 살피고, 문제에 없는 선이나 조건을 추가하지 않았는지도 점검했다.
마지막으로 학생은 풀이 아래에 “외각의 위치를 먼저 정하고, 외각과 맞닿지 않은 두 내각만 더한다. 다른 도형의 성질은 주어진 조건이 없으면 사용할 수 없다”고 직접 적었다. 동남구중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 공식을 외운 결과가 아니라, 그림·문장·표의 형태가 바뀌어도 외각의 경계를 먼저 판단한 과정에 있었다.