동남구 중1수학과외

그림의 모양보다 실제 표시를 먼저 읽는 동위각 풀이

동남구의 청수지구·신방지구·청당지구가 포함된 생활권에서 중1수학과외를 진행하며, 학생이 자주 멈춘 부분은 동위각의 위치를 판단하는 일이었다. 천안용곡중학교가 포함된 생활권에서 접한 교과서 변형 문제처럼 두 직선과 한 직선이 만나는 그림에서는 모양이 익숙해 보여도, 실제로 표시된 선과 점의 위치를 다시 읽어야 했다.

한 줄의 판단에서 시작된 혼동

문제 그림에는 두 직선 l, m을 직선 t가 가로질러 놓여 있었고, 두 교점의 바깥쪽에 각각 각이 표시되어 있었다. 위 교점의 왼쪽 위 각과 아래 교점의 왼쪽 위 각이 비슷해 보였지만, 아래쪽 각은 두 직선 사이가 아니라 바깥에 표시되어 있었다.

학생은 그림을 보자마자 “왼쪽 위와 왼쪽 위니까 동위각”이라고 적고 두 각의 크기가 같다고 판단했다. 풀이가 어긋난 최초의 지점은 각의 이름이나 표시된 경계를 확인하기 전에, 그림의 방향과 반복되는 위치만 보고 동위각이라고 정한 것이었다. 계산 실수가 아니라 두 직선 사이인지 바깥인지 확인하지 않은 채 위치를 읽은 것이 문제였다.

동위각은 두 교점에서 같은 방향에 놓인 각이지만, 각이 놓인 영역과 실제로 표시된 두 변까지 함께 확인해야 한다.

경계선을 직접 표시해 다시 읽기

이미 적은 각의 이름을 지우기보다, 두 직선 사이의 부분을 연필로 가볍게 칠하게 했다. 그다음 위 교점의 표시된 각을 두 변으로 나누어 보았다. 한 변은 직선 l 위에 있고 다른 변은 직선 t 위에 있었다. 아래 교점의 표시된 각도 두 변은 직선 m과 직선 t 위에 있었지만, 그 각은 두 직선 사이가 아닌 바깥쪽에 있었다.

학생은 각의 꼭짓점에서 시작해 두 변을 따라가며 “위 교점의 왼쪽 위, 아래 교점의 왼쪽 위”라고 읽은 뒤, 두 각이 모두 같은 쪽에 있는지와 두 직선 사이에서 차지하는 위치가 같은지를 나란히 적었다. 표시된 각 중 하나만 내부에 있고 다른 하나가 외부라면, 그림의 방향이 비슷해도 동위각으로 묶을 수 없다는 점을 확인했다. 교정은 여러 규칙을 새로 외우는 방식이 아니라, 동위각을 판단하기 전에 두 직선 사이의 경계를 먼저 표시하는 한 단계로 제한했다.

도형을 돌려도 기준은 변하지 않았다

다음 문제에서는 같은 개념을 식이나 숫자가 아닌 다른 모습으로 제시했다. 두 직선은 세로로 놓였고, 횡단하는 직선은 비스듬히 그려져 있었다. 점 이름도 위쪽 교점을 A, 아래쪽 교점을 B로 바꾸고, 문제는 “각 P와 동위각인 각을 고르시오”라고 물었다.

학생은 그림을 돌려 보지 않고 먼저 각 P의 꼭짓점 A를 동그라미로 표시했다. 이어 각 P를 이루는 두 선분을 따라가며 A에서 왼쪽 위 영역에 놓였음을 기록했다. B에서는 같은 횡단선과 다른 직선이 만나는 지점을 찾고, B에서 왼쪽 위에 있으면서 두 직선 사이의 영역에 놓인 각만 후보로 남겼다. 보기의 각 이름이 익숙하다는 이유로 고르지 않고, 각의 두 변과 위치를 그림에 다시 표시한 뒤 선택했다.

표현이 ‘동위각을 찾으시오’에서 ‘각 P와 같은 위치의 각을 고르시오’로 바뀌었지만, 학생은 먼저 두 직선과 횡단선을 구분하고, 두 교점에서 같은 방향에 놓였는지 확인했다. 특히 보기에서 방향은 같아 보여도 한 각이 바깥 영역에 있는 경우에는 후보에서 제외했다. 이는 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 점 이름과 도형 방향, 질문의 문장을 바꾼 독립 적용이었다.

힌트 없이 다시 세운 최종 확인

단원평가 직전에는 새로운 그림을 제시하고 아무 표시도 하지 않은 채 풀게 했다. 학생은 먼저 두 직선 사이를 선으로 표시하고 횡단선을 찾았다. 이어 첫 번째 각의 꼭짓점과 두 변을 확인한 뒤, 두 번째 교점에서 같은 방향에 놓인 각을 찾았다. 두 각이 모두 같은 쪽에 있고 각각 두 직선 사이에 놓였는지 스스로 설명했다.

• 두 각의 꼭짓점이 서로 다른 두 교점에 있는가?
• 각을 이루는 한 변이 같은 횡단선 위에 있는가?
• 두 각이 같은 방향에 놓였는가?
• 두 각의 내부·외부 위치가 서로 바뀌지 않았는가?

학생은 마지막으로 그림에 실제로 표시된 각을 다시 가리키며 “모양이 비슷해서 고른 것이 아니라, 두 교점에서 같은 방향이고 두 직선에 대한 위치도 같아서 동위각이다”라고 설명했다. 반대로 한 각이 경계 밖에 표시된 경우에는 동위각이 아니라고 원래 판단을 수정해 말했다. 동남구과외 수업에서 확인한 변화는 정답 개수가 아니라, 그림이 회전되고 점 이름이 달라져도 경계와 표시를 먼저 대조해 같은 개념을 재현했다는 점이다. 동남구중1수학과외에서도 이러한 실제 표시 중심의 풀이를 이어 갈 수 있다.