동남구 고3수학과외

치환식의 끝값에서 갈린 한 줄

청수지구와 신방지구가 이어지는 동남구 생활권에서 수능형 치환 문제를 함께 복기하던 중, 학생의 오답은 계산보다 앞선 조건 판단에서 시작됐다. 동남구과외 수업에서 사용한 문항은 다음과 같았다.

실수 \(x>0\)에 대하여 \(x+\frac1x=t\)라 할 때, \(t^2-5t+6=0\)을 만족하는 \(x\)를 모두 구하여라.

학생은 곧바로 \(t=2,3\)을 구한 뒤 각각을 원래 식에 대입했다. \(t=3\)에서는 두 해를 얻었지만, \(t=2\)를 일반적인 경우처럼 처리하면서 경계에 해당하는 해를 별도로 살피지 않았다. 풀이를 거꾸로 읽어 보니 최초의 어긋남은 이 지점이었다. 치환한 문자가 가질 수 있는 범위를 먼저 확정하지 않고, 방정식의 두 근을 똑같은 방식으로 다룬 것이다.

계산보다 먼저 남긴 범위

학생에게 다음 계산을 가리고 첫 줄만 복원하게 했다. \(x>0\)이면

\[ x+\frac1x-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0 \]

이므로 \(t\ge2\)이다. 특히 \(t=2\)는 단순한 일반 구간의 끝값이 아니라 \(x=1\)일 때만 가능한 경계다. 반면 \(t=3\)은 \(t>2\)인 내부값이므로 \(x+\frac1x=3\)에서

\[ x^2-3x+1=0 \]

을 풀어 \(\frac{3+\sqrt5}{2},\frac{3-\sqrt5}{2}\)를 얻는다. 학생은 풀이 옆에 ‘① \(t\)의 범위 ② 경계값 ③ 후보 재대입’이라고 번호를 붙였다. 일반적인 값에 적용한 규칙이 끝점에서도 그대로 유지되는지 확인하는 순서를 고정한 것이다.

따라서 \(t=2\)에서는 \(x+\frac1x=2\), 즉 \((x-1)^2=0\)이므로 \(x=1\) 하나만 남는다. 해의 개수를 먼저 예상하지 않고, 경계에서 식이 등호가 되는 조건을 원래 식으로 되돌려 확인한 점이 교정의 핵심이었다. 천안중앙고등학교와 천안청수고등학교 인근 생활권에서 진행한 동남구고3수학과외 학습 기록에서도 이처럼 치환 뒤의 범위를 별도 줄에 쓰는 습관을 강조했다.

조건의 위치를 바꾼 재구성

다음 날에는 숫자만 바꾸지 않고 조건의 위치를 바꾸었다.

실수 \(x<0\)에 대하여 \(x+\frac1x=t\)라 할 때, \(t^2-5t+6=0\)을 만족하는 \(x\)가 존재하는지 판단하여라.

이번에는 \(x<0\)이라는 조건에서

\[ x+\frac1x+2=\frac{(x+1)^2}{x}\le0 \]

이므로 \(t\le-2\)임을 먼저 적었다. 방정식의 후보 \(t=2,3\)은 모두 이 범위에 들어가지 않으므로, 원래 식을 풀기 전에 두 후보를 제거해야 한다. 학생은 조건을 뒤에서 확인하지 않고 치환 직후 왼쪽 여백에 적었으며, ‘후보 2, 3 → \(t\le-2\)와 불일치’라고 남겼다. 이전 문제의 해를 기억해 적용할 수 없는 상황에서도 경계와 후보 제거의 순서를 유지했다.

힌트 없이 되살아난 판단

마지막 검증에서는 해설 표시를 지운 6월 모의평가 오답을 다시 제시했다. 문제는 \(x>0\), \(x+\frac1x=t\), \(t^2-6t+8=0\)으로 바꾸었다. 학생은 먼저 \(t\ge2\)를 세운 뒤 \(t=2,4\)를 후보로 기록했다. \(t=2\)에서는 등호 조건 \(x=1\)을 역으로 복원했고, \(t=4\)에서는 \(x^2-4x+1=0\)을 풀었다. 이어 얻은 세 후보를 원래 치환식에 다시 넣어 \(t\)가 각각 2 또는 4가 되는지 확인했다.

특히 전체 풀이를 다시 계산하지 않고, 오류가 생기기 쉬운 경계 줄과 후보 재대입 줄만 점검했다. 치환의 결과를 믿기 전에 치환 문자의 범위를 찾고, 끝값이면 등호 조건을 역추적하며, 마지막 후보가 원래 조건을 만족하는지 확인하는 행동이 새로운 문항에서도 스스로 나타났다. 이것이 수능 치환에서 계산보다 먼저 지켜야 할 경계 검증이었다.