개운동 중등수학과외

개운동중등수학과외, 두 변 15·16과 사이각 60°로 합동 근거 확인하기

삼각형의 합동에서는 답을 맞히는 것만큼 그 답을 정하는 조건을 정확히 짚는 일이 중요합니다. 두 삼각형에 각각 길이 15, 16인 두 변과 그 사이각 60°가 주어졌을 때, 두 삼각형은 SAS 합동 조건을 만족하므로 합동입니다. 여기서 확인할 핵심은 60°가 단순히 주어진 각이 아니라, 길이 15인 변과 길이 16인 변이 만나는 곳의 각, 즉 두 변 사이의 각이라는 점입니다. 개운동중등수학과외에서는 맞힌 답을 다시 오답처럼 다루기보다, 이 근거가 풀이 기록에 드러나는지 차분히 확인할 수 있습니다.

두 길이만이 아니라 ‘어느 각’인지 표시합니다

기본 문제의 그림에서 한 삼각형은 두 변에 15, 16을 적고, 그 두 변이 만나는 꼭짓점을 찾습니다. 그 꼭짓점에 60°를 표시합니다. 다른 삼각형도 대응하는 두 변을 같은 색으로 표시한 뒤, 그 두 변의 공통 꼭짓점에 있는 60°를 연결합니다. 이렇게 표시하면 조건은 ‘15인 변, 그 옆의 60°, 16인 변’의 순서로 읽힙니다. 두 변의 길이가 각각 같고 그 사이각도 같으므로 삼각형의 벌어진 정도가 정해지고, SAS에 따라 두 삼각형의 모양과 크기가 같습니다.

설명할 때는 “각이 60°라서요”에서 멈추지 않고 “15와 16 사이에 있는 각이 60°이므로 두 변과 그 사이각이 각각 대응한다”라고 말하거나 그림으로 보이면 충분합니다. 반대로 60°가 15와 16 중 한 변에 붙어 있지 않고 다른 위치의 각이라면, 같은 SAS라고 바로 판단할 수 없습니다. 따라서 각의 숫자와 위치를 함께 확인하는 것이 정답의 근거가 됩니다.

60°를 지우면 같은 길이도 한 가지 모양을 만들지 않습니다

비교 문제에서는 60° 조건을 삭제하고 길이 15와 16만 남깁니다. 이때 합동을 확정할 수는 없습니다. 한 꼭짓점에서 길이 15인 선분과 길이 16인 선분을 그린 뒤, 두 선분 사이의 각을 60°가 아닌 다른 크기로 벌릴 수 있기 때문입니다. 예를 들어 사이각이 더 작거나 더 큰 경우에는 세 번째 변의 길이와 삼각형의 모양이 달라집니다. 두 변의 길이는 유지되지만, 두 변이 이루는 각이 달라졌으므로 하나의 삼각형으로 결정되지 않습니다.

이 비교는 기본 문제의 답을 부정하는 활동이 아닙니다. 기본 문제에서는 길이 15, 16과 사이각 60°가 모두 있어 합동이 성립하고, 비교 문제에서는 사이각이 빠져 합동을 확정할 수 없다는 차이를 확인하는 활동입니다. “각도 조건을 없애도 모양이 정해질까?”라는 질문에는 서로 다른 사이각으로 그린 두 그림을 비교해 답할 수 있습니다. 같은 두 길이를 사용했더라도 사이각이 다르면 서로 포개어지지 않는 삼각형이 가능하다는 점이 검산 근거입니다.

정답 확인은 표시와 비교 결과로 이어집니다

다음 확인에서는 정답을 먼저 보지 않고 기본 그림에 15, 16, 60°를 대응 순서대로 표시해 봅니다. 이어서 60°가 두 표시된 변의 공통 꼭짓점에 있는지 확인하고, “그래서 SAS 합동 조건을 만족한다”는 판단을 짧게 남깁니다. 말로 설명하기 어렵다면 같은 꼭짓점과 두 변을 화살표나 색으로 연결해도 좋습니다. 중요한 것은 긴 문장이 아니라 사이각의 위치가 분명하게 드러나는 것입니다.

그다음에는 도움 없이 60°를 지운 비교 문제를 다시 봅니다. 길이 15와 16만으로는 사이각을 하나로 정할 수 없고, 따라서 서로 다른 모양의 삼각형이 가능하므로 합동을 확정할 수 없다고 근거까지 적어 봅니다. 기본 문제의 SAS 판단과 비교 문제의 ‘확정할 수 없음’을 구분해 설명할 수 있는지, 그리고 각을 지운 뒤 무엇이 달라졌는지를 그림이나 말로 보여 줄 수 있는지가 이후 학습을 확인하는 기준이 됩니다.