개운동 중2수학과외

가격과 개수 문장에서 식이 달라지는 경계 찾기

개운동과외 수업에서 학생은 개운동 생활권의 수루배마을6단지와 복산육거리 인근에서 접할 법한 물건값 문장제를 풀고 있었다. 상지여자중학교가 포함된 생활권에서 자주 연습하는 유형이지만, 이 글에서는 학교나 지역 정보보다 가격과 개수를 두 미지수로 나타내는 과정에 초점을 맞췄다.

첫 식에서 드러난 한 줄의 오류

문제는 연필 3자루와 공책 2권의 합이 7,400원이고, 연필 5자루와 공책 4권의 합이 13,800원일 때 각각의 가격을 구하는 내용이었다. 학생은 연필 가격을 x, 공책 가격을 y로 정한 뒤 문장을 읽으며 ‘연필 3자루’, ‘공책 2권’, ‘전체 금액 7,400원’에 밑줄을 그었다.

첫 번째 식은 3x+2y=7400으로 정확히 적었다. 두 번째 문장을 옮길 때도 5x+4y=13800까지 썼지만, 가감법을 시작하면서 첫 식의 공책 항을 4y로 바꾸어 3x+4y=7400처럼 맞춰 놓았다. 두 식의 공책 계수를 맞추려는 판단 자체는 가능했지만, 한 식의 계수만 바꾸고 등식의 다른 부분과 조건을 그대로 둔 것이 처음 어긋난 지점이었다. 계산 결과가 이상해진 뒤에야 학생은 ‘공책을 두 권에서 네 권으로 바꿨는데 가격 합계는 왜 그대로지?’라고 표시했다.

바꿀 수 있는 것은 새 식을 만드는 과정뿐

교사는 이미 쓴 원래 식을 지우지 않고 옆에 다시 적게 했다.

3x+2y=7400, 5x+4y=13800은 문제의 두 조건이다. 계수를 맞출 때는 식 전체에 같은 수를 곱해야 하며, 문제의 한 항만 임의로 바꾸지 않는다.

학생은 첫 식 전체에 2를 곱해 6x+4y=14800을 만들었다. 이 식은 첫 번째 조건을 두 배로 나타낸 것이므로 원래 식과 같은 조건이라고 말로 확인했다. 두 번째 식 5x+4y=13800을 아래에 놓고 빼자 x=1000이 나왔다. 이를 3x+2y=7400에 대입해 3000+2y=7400, y=2200을 계산했다.

여기서 계산을 멈추지 않고 두 원래 식에 각각 대입했다. 3×1000+2×2200=7400, 5×1000+4×2200=13800이 모두 성립했다. 특히 6x+4y=14800은 새 조건이 아니라 첫 식에 2를 곱한 식이라는 점을 다시 말하게 하여, ‘항 하나를 바꾸는 것’과 ‘식 전체를 같은 수로 바꾸는 것’을 구분했다.

문장의 조건 위치가 바뀐 문제

다음 문제에서는 표현을 바꾸었다. 한 묶음에는 지우개 2개와 자가 3개가 들어 있어 5,100원이고, 지우개 4개와 자가 1개를 따로 사면 5,700원이다. 단, 행사로 두 번째 경우에는 지우개 한 개당 300원이 할인된다는 조건이 붙었다. 학생은 먼저 지우개 가격을 x원, 자 가격을 y원으로 정하고, 할인 조건이 붙은 두 번째 문장을 그대로 4x+y=5700으로 쓰려 했다.

이번에는 숫자를 계산하기 전에 조건의 위치를 표시했다. ‘지우개 4개’, ‘개당 300원 할인’을 묶어 실제 지불액을 4(x-300)+y로 나타냈다. 따라서 식은 2x+3y=5100, 4(x-300)+y=5700이 된다. 식을 전개할 때 4x-1200+y=5700이라고 적고, 할인액을 한 번만 빼야 한다는 점도 확인했다. 이 문제는 계수만 바꾼 반복이 아니라, 문장 안에 들어온 할인 조건이 어느 항에 적용되는지 판단해야 하는 경우였다.

학생은 두 번째 식을 4x+y=6900으로 정리한 뒤 첫 번째 식과 비교했다. 두 식을 가감하기 전, 4x+y=6900이 할인 전 가격의 합이고 원래 문장의 지불액은 5700원이라는 관계를 설명했다. 마지막에는 구한 값을 두 식에 다시 넣어 할인된 식과 할인 없는 첫 식을 각각 검산했다.

힌트 없이 세운 최종 판단

개운동중2수학과외 수업의 독립 확인에서는 다음 문장을 제시했다. “빵 3개와 음료 2개의 정가는 8,000원이다. 빵 5개와 음료 1개를 사면 묶음 할인 1,000원을 받아 9,000원이다.” 학생은 도움을 기다리지 않고 빵 가격을 x, 음료 가격을 y로 정했다.

학생은 첫 판단을 이렇게 설명했다. “첫 식은 정가이므로 3x+2y=8000이다. 두 번째는 빵과 음료의 정가 합에서 할인액을 빼고 실제 금액을 적어야 하므로 5x+y-1000=9000, 즉 5x+y=10000이다.” 이어 두 식에서 가감할 항을 표시하고, 식 전체를 배수로 바꿀 때 등호 오른쪽도 함께 바꿔야 한다고 말했다.

계산 뒤에는 구한 가격을 첫 번째 정가식과 두 번째 할인식에 각각 대입했다. 두 식이 모두 성립하는지 확인한 뒤 “조건이 붙은 항만 수정하고, 조건이 없는 항은 원래대로 둔다. 식을 배수로 만들 때는 모든 항과 우변을 함께 바꾼다”고 검산 근거를 스스로 정리했다. 결과보다 앞서 문장의 경계와 예외 조건을 식에 반영하는 판단이 재현된 장면이었다.