개운동 고등수학과외

개운동 고등수학과외에서는 극한값을 계산하는 데서 멈추지 않고, 좌극한과 우극한이 같은지 판단하는 과정까지 자세히 살펴봅니다. 원주고등학교와 상지여자고등학교 학생들이 자주 접하는 구간별 함수 문제에서도 답을 바꾸는 단서는 계산식보다 x가 어느 쪽에서 다가오는지에 놓여 있습니다. 국책연구단지와 수루배마을 생활권에서도 이 부분을 혼동해 우극한만 맞게 구한 뒤 함수의 극한이 존재한다고 결론 내리는 경우가 있습니다.

우극한을 보기 전에 좌극한 조건을 읽는 연습

학생에게 다음 함수를 제시했습니다.

f(x) = { 2x+1 (x<7), 5x-20 (x≥7) }

x가 7보다 큰 쪽에서 다가가면 우극한은 5×7-20=15입니다. 그런데 학생은 오른쪽 식을 먼저 계산한 뒤 “함숫값도 15이므로 극한이 존재한다”고 적었습니다. 여기서 처음 잘못된 순간은 좌극한을 계산하지 않은 채 우극한의 결과를 전체 극한의 결론으로 바꾼 장면입니다.

여백에는 먼저 ‘x→7−는 x<7 식, x→7+는 x≥7 식’이라고 적게 했습니다. 왼쪽에서 7로 접근할 때는 첫 번째 식을 사용하므로 좌극한은 2×7+1=15입니다. 오른쪽 값과 같다는 사실을 확인한 뒤에야 양쪽 극한이 15로 일치한다고 말할 수 있습니다. x=7에서 실제 함수값이 두 번째 식으로 정해져 f(7)=15라는 점은 별도로 확인하되, 함수값이 극한의 존재를 대신 결정하지는 않는다는 점도 구분했습니다.

첫 오류를 눈에 보이게 바꾸기

같은 구조에서 왼쪽 식만 바꾸어 보았습니다.

g(x) = { 2x+2 (x<7), 5x-20 (x≥7) }

이번에는 좌극한이 16, 우극한이 15입니다. 학생은 처음에 오른쪽 계산 결과 15를 보고 답을 유지하려 했지만, 두 값을 나란히 적자 양쪽 접근값이 다르다는 사실이 드러났습니다. 그래프를 그릴 때도 왼쪽 직선은 (7,16)에 열린 점, 오른쪽 직선은 (7,15)에 닫힌 점으로 표시해 식의 조건과 점의 위치를 연결했습니다.

한쪽에서 얻은 값은 전체 극한의 답이 아니라, 한쪽 접근이 끝났다는 표시다.

조건을 바꾼 새 문제에서 혼자 적용하기

다음에는 기준점을 7에서 -2로 바꾸고, 접근 방향을 먼저 표시하게 했습니다.

h(x) = { x²+3 (x<-2), 4x+15 (x≥-2) }

학생은 왼쪽 식에서 (-2)²+3=7, 오른쪽 식에서 4×(-2)+15=7을 각각 계산했습니다. 이번에는 풀이 순서를 안내하지 않고, 문제 옆에 ‘왼쪽 조건 확인 → 왼쪽 값 → 오른쪽 조건 확인 → 오른쪽 값’만 스스로 적었습니다. 기준점과 식의 숫자가 달라져도 조건을 먼저 읽는 습관이 유지되는지 확인하는 장면이었습니다.

대수 계산 뒤 그래프로 다시 검산하기

마지막에는 계산식을 가리고 그래프만 보고 x=7의 왼쪽과 오른쪽 접근값을 말하게 했습니다. 첫 함수에서는 두 직선이 각각 열린 점과 닫힌 점으로 표시되지만 높이가 모두 15라서 극한이 일치했습니다. 두 번째 함수에서는 높이가 16과 15로 갈라져 극한이 존재하지 않았습니다. 그래프에서 읽은 값을 다시 좌우 식에 대입한 결과와 비교하면서, 우극한의 숫자가 맞더라도 좌극한 조건을 빠뜨리면 결론 전체가 틀릴 수 있음을 검증했습니다.

자주 묻는 질문

함숫값과 극한값이 다르면 극한은 없는 건가요?

그렇지 않습니다. 좌우에서 같은 값으로 접근하면 x=7에서의 함수값이 달라도 극한은 존재할 수 있습니다.

우극한과 좌극한 중 어느 것을 먼저 계산하나요?

순서는 자유롭지만, 각 방향에 맞는 구간 조건을 먼저 표시해야 합니다. 계산 순서보다 식을 잘못 선택하지 않는 것이 중요합니다.

부등호가 왜 중요한가요?

x<7과 x≥7은 접근 방향과 x=7에서 실제로 사용할 식을 나눕니다. 부등호를 빼고 읽으면 좌우 식을 뒤바꿀 수 있습니다.

그래프 없이도 판단할 수 있나요?

가능합니다. 좌극한과 우극한을 각각 구해 비교하면 됩니다. 그래프는 그 결과가 맞는지 확인하는 별도의 검산 수단입니다.

좌우 값이 같으면 항상 연속인가요?

좌우 극한이 같다는 것만으로는 부족합니다. 그 공통값이 해당 점의 함수값과도 같은지 추가로 살펴봐야 합니다.