개운동 고3수학과외

겹치는 사건을 끝점에서 다시 세어 본 확률 풀이

개운동 생활권의 학습 상담에서 학생이 가져온 문제는 정수 하나를 무작위로 고르는 상황이었다. 표본공간은 \(S=\{1,2,\ldots,10\}\)이고, 사건 \(A\)는 “2의 배수”, 사건 \(B\)는 “5의 배수”였다. 학생은 먼저 \(P(A)=\frac{5}{10}\), \(P(B)=\frac{2}{10}\)을 적고 곧바로 \(\frac{7}{10}\)을 답으로 썼다. 두 사건을 더하면 된다는 규칙을 적용한 것이다.

풀이의 첫 줄만 보면 자연스러웠지만, 사건을 실제 수로 펼쳐 보니 \(10\)이 두 목록에 모두 들어 있었다. 따라서 \(A\cup B\)를 셀 때 \(10\)을 두 번 센 셈이었다. 이 장면에서 드러난 최초의 문제는 계산 실수가 아니라, 일반적인 덧셈 규칙을 사건이 겹치는 경계 상황에도 그대로 사용한 판단이었다.

두 사건의 경계를 표본공간 안에서 확인하다

학생은 자신의 답을 수정하기 전에 사건을 다시 복원했다.

\(A=\{2,4,6,8,10\}\), \(B=\{5,10\}\)이므로 \(A\cap B=\{10\}\)이다. 겹치는 원소가 하나이므로

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac{5}{10}+\frac{2}{10}-\frac{1}{10} =\frac{6}{10}\)

이때 교정은 여러 풀이법을 덧붙이는 방식이 아니었다. 일반적으로 더하는 부분과, 두 사건이 만나는 예외 부분을 분리해 마지막 계산만 다시 한정했다. 특히 “5의 배수”를 \(5,10\)으로 적은 뒤, \(10\)이 동시에 2의 배수라는 사실을 표시하게 했다. 사건을 직접 나열하자 겹침 여부가 식보다 먼저 보였다.

지역 정보보다 중요한 것은 학생이 덧셈정리를 외운 채 끝내지 않고, 각 사건의 원소가 실제로 어디에서 만나는지 확인했다는 점이다.

끝점을 넣거나 빼면 결론이 달라지는 변형

같은 숫자를 단순히 바꾸지 않고 조건의 경계를 바꾸었다. 이번에는 \(1\)부터 \(12\)까지의 정수에서 \(A\)를 “3의 배수”, \(B\)를 “5보다 큰 5의 배수”라고 하였다.

\(A=\{3,6,9,12\}\), \(B=\{10\}\)이므로 두 사건은 겹치지 않는다. 따라서

\(P(A\cup B)=\frac{4}{12}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12}\)

학생은 처음에 \(B\)를 “5 이상의 5의 배수”로 읽어 \(5,10\)을 포함시키려 했다. 그러나 문장에 “5보다 큰”이라고 되어 있으므로 끝점 \(5\)는 제외해야 한다. 끝점을 하나 추가하면 \(A\cap B\)가 생기는 것은 아니지만, \(P(B)\) 자체가 달라진다. 반대로 \(B\)를 “5 이상인 5의 배수”로 바꾸면 \(B=\{5,10\}\)이 되어 합집합 확률은 \(\frac{6}{12}=\frac12\)가 된다. 조건의 경계 하나가 결론을 바꾸는 과정을 비교한 것이다.

계산과 그림이 충돌하는 순간

마지막 확인에서는 힌트를 주지 않고, 표본공간을 원으로 나타낸 뒤 학생에게 자신의 식과 그림을 대조하게 했다. 학생은 두 원이 겹치지 않는 변형에서 \(P(A)+P(B)\)를 사용했고, 원래 문제처럼 \(10\)이 두 원에 동시에 들어가는 경우에는 교집합을 빼야 한다고 설명했다. 또 “5보다 큰”이라는 표현을 “5 이상”으로 바꾸면 \(5\)가 새로 들어온다고 직접 지적했다.

검증의 기준은 정답 숫자가 아니었다. 학생이 사건을 나열하고, 경계값의 포함 여부를 확인하며, 겹치는 부분을 한 번만 세었는지를 보았다. 이후 개운동고3수학과외 풀이에서도 학생은 덧셈정리를 먼저 쓰기보다 조건의 끝점과 교집합을 표시한 뒤 식을 세웠다. 계산 결과와 사건 그림이 어긋나면 식을 밀어붙이지 않고, 어느 원소를 중복해서 세었는지부터 되짚는 판단이 남아 있었다.