개운동 중1수학과외

경계값에서 드러난 순서쌍 판단의 빈틈

개운동과외 수업에서 상지여자중학교가 포함된 생활권의 학교 프린트 문제를 다시 풀던 학생은 좌표평면에 점을 표시하는 문제에서 멈췄다. 문제는 “점 (x, y)의 x좌표가 -2보다 크고 3 이하일 때, 다음 중 조건을 만족하는 순서쌍을 모두 고르시오”라는 내용이었다.

한 줄의 부등식에서 시작된 오류

학생은 후보를 표에 옮겨 적었다.

• (-2, 4)
• (-1, 0)
• (3, 2)
• (4, -1)

그런데 조건을 확인하는 첫 줄에 -2 < x < 3이라고 적었다. 원래 문장의 “3 이하”를 읽고도 양 끝을 모두 제외하는 형태로 바꾼 것이다. 그래서 (-1, 0)만 남기고 (3, 2)는 탈락시켰다. 답을 고르는 과정에서 계산이 틀린 것이 아니라, 조건을 식으로 옮기는 첫 판단에서 이미 x=3을 제외한 것이 문제였다.

학생이 적은 식: -2 < x < 3
문제의 조건: -2 < x, x ≤ 3

경계값을 수직선과 순서쌍에 함께 표시하기

기존에 맞게 읽은 부분은 그대로 두고, 3에서만 판단을 고쳤다. 먼저 수직선에 -2와 3을 표시했다. -2에는 빈 동그라미를, 3에는 찬 동그라미를 그린 뒤 그 사이를 선으로 이었다. 이어 각 순서쌍의 첫 번째 수만 따로 확인했다. 순서쌍에서는 앞의 수가 x좌표이므로 뒤의 수를 보고 x의 조건을 판단하면 안 된다는 점도 옆에 적었다.

• (-2, 4): x=-2이므로 “-2보다 크다”를 만족하지 못함
• (-1, 0): -2보다 크고 3 이하이므로 가능
• (3, 2): x=3이고 3 이하이므로 가능
• (4, -1): x=4이므로 범위를 벗어남

학생은 답 옆에 “3은 끝값이지만 이하라고 했으므로 포함한다”라고 한 줄로 근거를 남겼다. 단순히 동그라미 모양만 외우지 않고, 문장의 ‘이하’가 왜 찬 동그라미로 이어지는지 순서쌍의 첫 번째 수와 연결한 것이다.

표현이 바뀌자 읽는 순서도 달라졌다

다음 문제는 부등식이 먼저 제시되지 않았다. 네 개의 순서쌍을 표로 제시하고, “x좌표가 -1 이상 2 미만인 점을 골라 좌표평면에 나타내라”고 물었다. 학생은 이번에는 식을 먼저 만들지 않고 표의 x좌표 열에만 세로선을 그었다. -1에는 포함 표시, 2에는 제외 표시를 한 뒤 각 행을 차례로 확인했다.

• (-1, 3): 첫 번째 수가 -1이므로 포함
• (0, -2): 첫 번째 수가 범위 안이므로 포함
• (1, 1): 포함
• (2, 0): 2는 “미만”이므로 제외

질문 방향도 바꾸어 “조건에 맞지 않는 순서쌍을 고르라”고 했을 때는 포함되는 후보를 찾은 뒤 남은 것을 답으로 정리했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 문장으로 주어진 조건을 표의 첫 번째 열에 적용하고 질문의 방향에 따라 결과를 다시 분류한 것이다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 끝 무렵에는 새 조건을 주고 풀이 자료를 덮었다. 문제는 “x좌표가 -3 이상 1 이하인 순서쌍 중 y좌표가 0인 것을 고르라”는 것이었다. 학생은 먼저 “앞의 수 x는 -3 이상 1 이하, 뒤의 수 y는 0”이라고 적었다. 후보는 (-3, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1)이었다.

학생은 (-3, 0)과 (1, 0)은 양 끝값이 모두 ‘이상’, ‘이하’에 포함된다고 설명했고, (2, 0)은 x의 범위를 벗어나며 (0, 1)은 y가 0이 아니므로 제외했다. 이어 선택한 순서쌍을 처음 조건에 다시 넣어 x의 범위와 y=0을 각각 확인했다.

(-3, 0): -3≤-3≤1, y=0
(1, 0): -3≤1≤1, y=0

마지막 검산에서도 학생은 “순서쌍의 앞 수를 x로 읽고, 경계 표현이 포함인지 제외인지 확인한 뒤, 뒤 수의 조건을 따로 대조했다”고 스스로 풀이 이유를 설명했다. 이처럼 개운동중1수학과외에서는 답만 고르는 데서 멈추지 않고, 조건을 순서쌍에 대입해 경계값까지 다시 확인하는 과정을 중심으로 풀이를 이어 갔다.