청학동 수학과외

청학동수학과외에서는 합의 법칙에서 겹치는 경우를 만났을 때 계산을 서두르기보다, 어떤 경우를 몇 번 세고 있는지 먼저 점검하는 풀이를 다룹니다. 두 사건이나 두 조건이 서로 겹치면 각각의 경우의 수를 더한 뒤 겹친 부분을 한 번 빼야 합니다. 이 판단을 첫 줄에서 분명히 하지 않으면 계산이 길어진 뒤에야 잘못된 공식을 선택했다는 사실을 발견하기 쉽습니다.

첫 계산 전에 세는 대상을 분리하기

예를 들어 어떤 학생들이 수학 동아리 또는 과학 동아리 중 하나 이상에 참여한다고 하겠습니다. 수학 동아리 학생 수를 a, 과학 동아리 학생 수를 b, 두 동아리에 모두 참여하는 학생 수를 c라고 하면 전체 학생 수는 a+b-c입니다. 수학 동아리에 속한 학생과 과학 동아리에 속한 학생을 각각 더할 때, 두 동아리에 모두 참여하는 학생은 두 번 포함됩니다. 그래서 겹친 수 c를 한 번 빼는 것입니다.

문제를 읽은 뒤에는 주어진 값과 구해야 할 값을 나누고, ‘또는’, ‘적어도 하나’, ‘두 조건을 모두 만족’ 같은 표현에 표시합니다. 그 다음 첫 계산 전에 “두 집합을 더하면 교집합이 중복되므로 겹친 수를 한 번 뺀다”와 같이 사용할 성질의 근거를 한 줄로 적습니다. 이 한 줄은 공식을 외워 쓰는 절차가 아니라, 현재 문제에서 중복 계산이 발생하는지를 확인하는 장치입니다.

겹침을 놓치는 오답 장면

학생은 두 조건의 인원만 보고 a+b를 바로 계산하는 경우가 있습니다. 이때 c가 0인지 확인하지 않았으므로, 두 조건을 모두 만족하는 대상을 두 번 센 셈이 됩니다. 반대로 이미 ‘서로 겹치지 않는 경우’라고 제시된 문제에서 c를 다시 빼면 실제 정답보다 작아집니다. 따라서 합의 법칙을 적용하기 전에는 조건이 배반적인지, 교집합이 존재하는지부터 판별해야 합니다.

또 다른 오류는 전체에서 겹친 부분을 빼야 하는 문제와, 처음부터 겹침을 제외한 부분만 제시한 문제를 구별하지 못하는 것입니다. 풀이식의 숫자만 고치는 것으로는 해결되지 않습니다. 각 항이 무엇을 세는지 옆에 짧게 적어 보아야 첫 단계의 잘못된 선택을 찾을 수 있습니다.

두 풀이가 만나는 지점 찾기

같은 문제를 두 방식으로 풀어 보면서 판단을 교정할 수 있습니다. 첫 번째는 두 집합의 크기를 더한 뒤 교집합을 빼는 방법입니다. 두 번째는 전체 대상을 ‘첫 번째 조건만 만족’, ‘두 번째 조건만 만족’, ‘둘 다 만족’으로 나누어 서로 겹치지 않는 부분을 합하는 방법입니다. 첫 번째 방법은 a+b-c로 나타나고, 두 번째 방법은 (a-c)+c+(b-c)로 나타나므로 결국 같은 값이 됩니다.

연습할 때는 숫자를 단순하게 바꾸어 각 항의 의미를 말하게 합니다. 예를 들어 a를 전체 동아리 인원, b를 다른 동아리 인원, c를 공통 인원으로 읽은 뒤, 식을 계산하기 전에 “이 항은 어떤 대상을 세는가?”를 확인합니다. 두 풀이의 결과가 다르면 계산 실수보다 먼저 중복된 대상을 어느 단계에서 포함했는지 표시합니다. 여집합을 이용할 수 있는 문제라면 전체에서 두 조건 모두 해당하지 않는 경우를 빼는 방식과도 비교해 봅니다.

조건을 바꾼 독립 검증

처음 문제의 숫자만 바꾸어 다시 푸는 것은 충분한 검증이 아닙니다. 예를 들어 두 조건이 겹치는 상황에서 한 풀이가 막히도록 문제 표현을 바꾸어, 전체 인원과 두 조건에 모두 해당하지 않는 인원을 주고 ‘적어도 한 조건을 만족하는 인원’을 묻게 할 수 있습니다. 이때는 전체에서 어느 조건에도 해당하지 않는 경우를 빼는 방법으로 전환해야 합니다.

검증에서는 정답만 확인하지 않고, 먼저 합의 대상이 무엇인지 정한 뒤 교집합을 직접 찾았는지 살핍니다. 두 조건이 겹치는 수가 주어지지 않았다면 문제의 다른 정보로 구할 수 있는지, 조건이 서로 배타적이라면 왜 단순히 더해도 되는지를 설명하게 합니다. 청학동의 금호아파트나 국제업무지구처럼 지역을 보여 주는 명칭은 생활권의 배경일 뿐, 학생의 거주나 이용을 전제로 풀이하지 않습니다. 인천과학예술영재학교와 연수고등학교 역시 지역 교육환경을 나타내는 자료로만 참고합니다.

합의 법칙 풀이를 점검하는 질문

합의 법칙에서 겹친 부분은 왜 빼나요?

두 조건에 모두 해당하는 대상이 두 번 세어지기 때문입니다. 한 번만 남기려면 교집합을 한 번 빼야 합니다.

교집합의 수가 바로 보이지 않으면 어떻게 하나요?

문제의 전체 수, 각 조건의 수, 어느 조건에도 해당하지 않는 수를 비교해 교집합을 구할 수 있는지 살핍니다. 정보가 부족하면 임의로 숫자를 정하지 않습니다.

두 조건이 겹치지 않는다는 말이 있으면 어떤 식을 쓰나요?

교집합이 0이므로 각 경우의 수를 그대로 더합니다. 다만 ‘겹치지 않는다’는 조건을 풀이에 근거로 적어 두는 것이 좋습니다.

합의 법칙 계산에서 가장 먼저 검산할 부분은 무엇인가요?

각 항이 세는 대상과 중복 여부를 확인합니다. 결과가 각 조건의 수보다 작거나 전체 가능한 대상보다 큰지도 함께 살펴봅니다.

공식은 외워 두는 편이 좋을까요?

공식 자체보다 중복 계산을 조정한다는 원리를 먼저 이해해야 합니다. 조건을 부분별로 나누어 세는 풀이와 비교하면 공식을 잊어도 다시 구성할 수 있습니다.